Флуктуации термодинамических величин.

 

Флуктуация определяется дисперсией случайной величины

. (152)
Здесь - среднее значение случайной величины x, - среднее значение ее квадрата. Флуктуацию удобнее определять среднеквадратичным значением

.

Пусть Q – обобщенная координата (параметр) классической системы погруженной в термостат при температуре T и F – обобщенная сила соответствующая обобщенной координате. Покажем, что дисперсия (или флуктуация) величины Q определяется формулой

. (153)
Можно показать, что вероятность термодинамической системы погруженной в термостат и «открытой» по параметру Q определяется формулой

.

Здесь мы выразили величину Q через обычные координаты и импульсы. Статистический интеграл системы

.

Среднее значение Q

.

Дифференцируем среднее значение

После преобразования

. Что и требовалось доказать.

Применим формулу (153) для конкретных случаев.

 

d Задача. Определить флуктуации энергии системы в термостате при «замкнутых» остальных параметрах (объеме, числе частиц).

Формулу (153) можно представить в виде

. (153)
Тогда для энергии «обобщенной силой» формально является величина . Используя (153), получаем

.

Для идеального одноатомного газа , поэтому

.

Среднеквадратичное отклонение

.

Относительная величина флуктуации энергии

.

 

d Задача. Определите флуктуацию объема системы погруженной в термостат и открытой по объему (фиксировано давление в системе, подвижный поршень).

 

В этом случае для объема сопряженной величиной (обобщенной силой) является (- p) «отрицательное» давление. В соответствии с общей формулой

.

Для идеального газа

.

Относительная среднеквадратичная флуктуация

 

d Задача. Определите флуктуацию числа частиц в системе погруженной в термостат и открытой по числу частиц. Объем в системе фиксирован.

Для числа частиц обобщенной силой является химический потенциал, поэтому

. (154)
Для идеального газа

.

Отсюда . Значение производной подставляем в (154).

.

Относительная среднеквадратичная флуктуация

. (155)

 

d Задача. Определите флуктуацию угла поворота зеркала гальванометра. Считайте исполнительный механизм гальванометра термодинамической системой погруженной в термостат открытой по углу поворота.

 

Для угла поворота зеркала обобщенной силой является момент упругих сил . c – коэффициент упругости нити подвески зеркала. В соответствии с формулой (153)

Так как , то

.

Если гальванометр «не нагружен» током, то и

; .

Этот результат можно получить, используя теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Измерительная часть гальванометра является крутильным маятником, который имеет две термодинамические степени свободы (потенциальную и кинетическую).[40] Приравниваем среднюю потенциальную энергию маятника величине и получаем тот же результат.

. (156)

 

 

d Задача. Определите флуктуацию электрического заряда на обкладках конденсатора, которые замкнуты через сопротивление величиной R.

Обобщенной силой к величине заряда является напряжение, поэтому в соответствии с общей формулой (учитываем, что )

.

Учитывая, что , получаем

. (157)

 

d Задача. Используя результат предыдущей задачи, определите время разрядки конденсатора заряженного до напряжения U. Схема конденсатора погружена в термостат с температурой T.

Разряд конденсатора определяется формулой

.

Без учета дискретности заряда и термодинамики время разрядки конденсатора равно бесконечности. Учитывая термодинамику системы можно определить время разряда конденсатора по времени, при котором заряд конденсатора становится равным флуктуационному заряду, который определяется формулой (157). В соответствии с этим записываем

.

Сделаем расчет для C = 1 мкФ, U0 = 10 В, R = 100 кОм. В этом случае RC = 0,1 сек. q0 = 10-5 Кл.

.

 

 

IV. Компьютерные задачи по статистической термодинамике.

 

Задача 1. Преобразовать равномерное распределение псевдослучайных чисел генерируемых программой RND к распределению . Эта функция плотности вероятности была получена в задаче «гравитационный кузнечик» (тело свободно падает в поле тяготения).

 

Задача 2. Преобразовать равномерное распределение псевдослучайных чисел генерируемых программой RND к линейной функции плотности вероятности (на интервале 0 – 1).

 

Задача 3. Провести компьютерное моделирование релаксации к равновесному распределению в неравновесном микроканоническом ансамбле (замкнутой системе). Неравновесное состояние представить линейным распределением вероятности состояний. Релаксацию проводить по максимуму энтропии.

 

Задача 4. Провести компьютерное моделирование методом Монте-Карло системы независимых спинов во внешнем поле (канонический ансамбль). Сравнить «экспериментальные» средние характеристики (энергия, флуктуация энергии) с теоретическими величинами.

 

Задача 5. Провести динамическое компьютерное моделирование системы «пружинный маятник + частица». Одномерная система. Маятник прикреплен к левой границе отрезка. Свободная частица «блуждает» в правой свободной области отрезка, упруго взаимодействуя с шариком маятника. Для введения «хаоса» в систему правая граница «флуктуирует» (ее положение случайным образом изменяется в небольшом интервале). Получить экспериментальные средние характеристики системы (энергии, координаты). Проверить теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Средняя энергия маятника имеющего две термодинамические степени свободы должна быть в два раза больше энергии свободной частицы.

 

Задача 6. Провести компьютерное моделирование методом Монте-Карло частицы на отрезке, который содержит потенциальную яму (канонический ансамбль). Сравнить экспериментальные средние величины (энергия, координата) с теоретическими величинами.

 

Задача 7. В среде MathCAD выполнить построение графиков (для различных температур) распределения Максвелла (функции плотности вероятности модуля скорости). Методом интегрирования проверить нормировку функции. Рассчитать характерные скорости молекул. Задание выполнить для воздуха ().

 

Задача 8. В среде MathCAD выполнить построение трехмерного графика приведенного уравнения Ван-дер-Ваальса. Получить двумерную матрицу значений давления. Провести его обработку при помощи программного модуля (обрезать по минимуму и максимуму).

 

Задача 9. В среде MathCAD выполнить построение графиков (для различных температур) функций Планка для теплового излучения. Проверить закон смещения Вина.

 

Задача 10. В среде MathCAD выполнить построение графиков функций теплоемкости кристаллов Эйнштейна и Дебая, низкотемпературной аппроксимации Дебая (кубический закон Дебая).

 

V. Приложение. Программы компьютерных заданий.