Вывод уравнения стоячей волны

Выберем систе­му координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (см. рис.)


 

С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде

 

x1=Acos(wt—kx) (40)

 

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние (l-х), и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на p, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

 

x2=Acos{wt—k[x+2(l—x)]+ p} (41)

 

После очевидных упрощений получим:

 

x2=Acоs[wt—k (2l—х)] (42)

 

Сложив уравнения (40) для бегущей волны и уравнение (42) для отраженной волны, найдем уравнение стоячей волны:

 

(43)

 

x=x1+x2=Acos(wt—kx)— Acos[wt—k(2l—x)] (44)

 

Воспользовавшись формулой разности косинусов:

 

(45)

Найдем

 

x= -2Asink(l—x)sin(wt—kl) (46)

 

 

Так как выражение Asink(l—х) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:

 

(47)

 

    - формула для амплитуды стоячей волны