Примеры выборки

Пример 6.

В микрорайоне проживает 2500 семей. Для установления среднего числа детей в семье была проведена 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. В результате обследования были получены следующие данные:

число детей в семье
число семей

С вероятностью 0,997 требуется определить границы, в которых будет находиться среднее число детей в семье в генеральной совокупности (в микрорайоне).

Решение.

Чтобы определить границы генеральной средней, необходимо рассчитать выборочную среднюю и ошибку выборочной средней. Рассчитаем среднее число детей в семье в выборочной совокупности и дисперсию выборочной совокупности:

Число детей в семье Количество семей        
-1,4 1,96 19,6
-0,4 0,16 3,36
0,6 0,36 4,32
1,6 2,56 10,24
2,6 6,76 13,52
3,6 12,96 12,96
Итого    

чел., .

Предельная ошибка выборочной средней при бесповторном отборе с вероятностью 0,997 равна:

чел.

Определим пределы, в которых находится среднее число детей в семье в микрорайоне:

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднее число детей в семье в микрорайоне находится в пределах .

Выборочная доля равна гдечисло единиц в выборке, обладающих изучаемым признаком, объем выборки.

Средняя стандартная ошибка выборочной доли при повторном отборе равна

так как, генеральная доля неизвестна, то при достаточно большом объеме выборки заменяем ее выборочной долей . Предельная ошибка доли .

Средняя ошибка выборочной доли при бесповторном отборе равна

где - объем генеральной совокупности,- объем выборки.

Доверительный интервал для генеральной доли можно записать как:

Пример 7.

По данным примера 6, определить с вероятностью 0,954 границы, в которых будет находиться доля семей число детей, в которых в генеральной совокупности (в микрорайоне) больше трех.

Решение:

Выборочная доля семей число детей в которых больше трех равна

.

Предельная ошибка выборочной доли при бесповторном отборе с вероятностью 0,954 равна:

Определим пределы, в которых будет находиться доля семей число детей, в которых в генеральной совокупности (в микрорайоне) больше трех. Получили, , так как доля не может отрицательной, то полагаем, что . Тогда,

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее число детей в семье в микрорайоне находится в пределах .

Типическая выборка

При типическом (районированном) отборе генеральная совокупность разбивается на однородные типические группы, районы. Отбор единиц наблюдения в выборочную совокупность производится различными методами. Рассмотрим типическую выборку с пропорциональным отбором внутри типических групп. Объем выборки из типической группы при отборе, пропорциональном численности типических групп, определяется по формуле:

где объем выборки из типической группы;

общий объем выборки,

объем типической группы,

объем генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборочной средней и доли при бесповторном случайном и механическом отборе внутри типических групп рассчитывается по формулам

При бесповторном отборе

При этом общая выборочная средняя рассчитывается из групповых выборочных средних по формуле: .

Средняя выборочная из внутригрупповых дисперсий:

Средняя выборочная доля рассчитывается по формуле:

Средняя из внутригрупповых дисперсий доли определяется по формуле:

Серийная выборка

При серийном способе отбора генеральную совокупность делят на одинаковые по объему группы- серии. В выборочную совокупность отбираются серии. Внутри серий производится сплошное наблюдение единиц, попавших в серию.

При бесповторном отборе серий средняя ошибка выборочной средней и средняя ошибка выборки для доли определяются по формуле:

где - межсерийная дисперсия средних или межсерийная дисперсия доли,

- число серий в генеральной совокупности,

- число отобранных серий.

Пример 8.

В цехе предприятия 10 бригад рабочих. С целью изучения производительности их труда была произведена 20%-я серийная выборка, в которую попали две бригады. В результате обследования установлено, что средняя выработка рабочих в бригадах составила 4,4 т и 3,0 т. С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых будет находиться средняя выработка рабочих цеха.

Решение:

Выборочная средняя серийной выборки равна

Дисперсия серийной выборки равна

где - выборочная средняя серии, - выборочная средняя серийной выборки. Рассчитаем предельную ошибку выборки для средней:

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средняя выработка рабочих цеха находится в пределах

Определение необходимой численности выборки

Средняя квадратическая (стандартная) ошибка выборки зависит от объема выборки и степени вариации признака в генеральной совокупности. Уменьшение стандартной ошибки выборки, а следовательно, увеличение точности оценки, всегда связано с увеличением объема выборки. В этой связи уже на стадии организации выборочного наблюдения приходится решать вопрос о том, каков должен быть объем выборочной совокупности, чтобы была обеспечена требуемая точность результатов наблюдений. Предельная ошибка выборки, вероятность ее появления и вариация признака предварительно известны. Приведем наиболее часто применяемые на практике выражения необходимого объема выборки:

n случайная и механическая выборка:

(повторный отбор)

(бесповторный отбор)

n типическая выборка

(повторный отбор)

(бесповторный отбор)

n серийная выборка

(повторный отбор)

(бесповторный отбор)

Величина характеризующая дисперсию признака в генеральной совокупности, зачастую бывает неизвестна. Поэтому используют приближенные способы оценки генеральной дисперсии.

1. Можно провести «пробное» обследование (обычно небольшого объема), на базе которого определяется величина дисперсии признака, используемая в качестве оценки генеральной дисперсии.

2. Можно использовать данные прошлых выборочных обследований, проводившихся в аналогичных целях, т.е. дисперсия, полученная по их результатам используется в качестве оценки генеральной дисперсии.

3. Если распределение признака в генеральной совокупности может быть отнесено к нормальному закону распределения, то размах вариации примерно равен откуда .

При проведении социально-экономических исследований, как правило, можно с достаточной точностью указать максимально и минимально возможные значения признака в исследуемой совокупности.

При определении по материалам выборки доли признака, а не средней его величины, объем выборочной совокупности при случайном отборе определяется по формулам:

(повторный отбор)

(бесповторный отбор)

При других видах отбора легко получаются аналогичные формулы. Если частость даже приблизительно неизвестна, то дисперсию доли полагают равной максимальному значению .