ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Операционное исчисление – раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами.

Операционное исчисление позволяет осуществить абстрактные постановки задач и обобщить такие разделы математического анализа, как теория дифференциальных и интегральных уравнений. Во многих задачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых каждая точка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (или того же) пространства. Пространства могут быть абстрактными, в которых «точки» в действительности являются функциями. Соответствие между двумя точками устанавливается с помощью преобразования или оператора. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. (Обычно теорию операторов применяют к пространствам, в которых допускается сложение или умножение точек, т.е. линейным пространствам, группам, кольцам, полям и т.д.)

Можно сказать, что операционное исчисление – один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи, в первую очередь дифференциальные уравнения.

В основе методов лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми другими функциями (образами или изображениями), получаемыми по определенным правилам, причем действия над оригиналами заменяются более простыми действиями над изображениями.

Например, в основе методов для решения дифференциальных уравнений лежит идея интегральных преобразований, связанная с сопоставлением решению исходной задачи, функции f(t) действительного переменного некоторой функции F(p) комплексного переменного так, что обыкновенное дифференциальное уравнение для f(t) переходит в алгебраическое для F(p). Аналогично, уравнению в частных производных для функции двух действительных переменных может быть сопоставлено обыкновенное дифференциальное уравнение. Это позволяет облегчить технику вычислений. Основную роль в операционном исчислении играет преобразование Лапласа.

Мощным стимулом для развития теории операторов стали современные проблемы квантовой теории. Наиболее полные результаты получены для дистрибутивных операторов, в том числе гильбертовом пространстве. Интерес к этой области во многом связан с представлением таких операторов интегральными преобразованиями.