Решение систем дифференциальных уравнений

При решении системы ЛДУ с постоянными коэффициентами для каждой неизвестной функции вводится свое изображение и решение задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений для изображений.

Рассмотрим систему двух ЛДУ 1 порядка

 

x`(t) + a₁₁ x(t) + a₁₂ y(t) = f₁(t) ( 18 )

y`(t) + a₂₁ x(t) + a₂₂ y(t) = f₂(t)

при начальных условиях x(0) = x₀, y(0) = y₀ . Функции f₁(t), f₂(t) оригиналы.

Пусть x(t) =: F₁(p) , у(t) =: F₂(p) , f₁(t) =: Ф₁(p) , f₂(t) =: Ф₂(p). Построим изображающее уравнения с учетом формулы ( 6 ) , т.е. x`(t) =: pF<sub>1</sub>(p) - x<sub>0</sub> , y`(t) =: pF₂(p) - y₀

pF₁(p) - x₀ + a₁₁ F₁(p) + a₁₂ F₂(p) = Ф₁(p) ( 19 )

pF₂(p) - y₀ + a₂₁ F₁(p) + a₂₂ F₂(p) = Ф₂(p)

 

Из решения системы находят F₁(p), F₂(p), а затем их оригиналы x(t) , y(t) .

Пр.21 При условии x(0) = y(0) = 0решить систему .

Т.к. t =: 1/p²(Пр.5), то система ( 18 ) принимает вид

Решение системы F₁(p) =; F₂(p) =. Эти изображения разложим на сумму простейших дробей: F₁(p) = - + - , F₂(p) = - + +и по формулам № 1, 3 перейдем к оригиналам, которые дают решение исходной системы уравнений :

x(t) = – t + ½ e^t – ½ e^-t , y(t) = – 1 + ½ e^t + ½ e^-t .

 

Проверка. x`(t) – у(t) = [– 1 + ½ e^t + ½ e^-t] – [– 1 + ½ e^t + ½ e^-t] = 0

у`(t) – x(t) = [½ e^t – ½ e^-t ] – [– t + ½ e^t – ½ e^-t ] = t