Системы эконометрических уравнений

Математические модели в экономической теории могут представлять собой системы уравнений и тождеств, которые связывают между собой рассматриваемые переменные (доход, уровень потребления, инвестиции и др.). Например, классическая схема рассуждений в макроэкономике приводит к системе

(15.1)

где Yt — национальный доход, Ct — потребление, It — уровень инвестиций, Gt — бюджетные расходы. Теория спроса и предложения приводит к соотношениям

(15.2)

где Qt — количество товара, Pt — цена товара, Mt — доход покупателя. При статистическом оценивании параметров, входящих в системы эконометрических уравнений, возникают специфические трудности, связанные с взаимной зависимостью рассматриваемых переменных.

Для начала рассмотрим систему уравнений

(15.3)

В системе (15.3) y1, y2 — зависимые переменные (в экономической теории чаще используют термин эндогенные, т.е. определяемые моделью), x1, x2 — независимые (экзогенные) переменные, e1, e2 — случайные возмущения, которые всегда вводят в уравнения (и не вводят в тождества) при оценивании коэффициентов модели по имеющимся данным. Особенностью системы (15.3) является присутствие зависимых переменных y1, y2 в правых частях уравнений. В этих случаях метод наименьших квадратов приводит, вообще говоря, к смещенным оценкам параметров. Однако мы можем преобразовать систему (15.3) к так называемой приведённой форме

(15.4)

В отличие от приведенной, исходная форма уравнений (15.3) называется структурной.

Определив коэффициенты приведенной формы методом наименьших квадратов (теперь в правых частях уравнений все величины независимые и этим методом можно пользоваться), мы можем попытаться вычислить по ним коэффициенты структурной формы. Если коэффициенты ai, bij, cij определяются однозначно, говорят, что структурная модель является точно идентифицируемой. Метод наименьших квадратов в этом случае называют косвенным, так как он применяется не к исходной структурной модели, а к приведенной.

Если коэффициенты структурной формы определяются неоднозначно, структурную модель называют сверхидентифицируемой. В этом случае рекомендуется применять двухшаговый метод наименьших квадратов, суть которого мы поясним ниже. И, наконец, если все коэффициенты структурной формы определить таким способом нельзя, модель называется неидентифицируемой. Неидентифицируемые модели следует модифицировать так, чтобы они стали идентифицируемыми.

Покажем, что макроэкономическая модель (15.1) является точно идентифицируемой, если пренебречь членом Gt, и сверхидентифицируемой, если этот член учитывается. В первом случае структурная модель принимает вид

(15.5)

Она содержит эндогенные переменные Yt (национальный доход) и Ct (потребление). Член It (уровень инвестиций) рассматриваем как экзогенную переменную. В первое уравнение модели (15.5) мы ввели случайную величину et. Второе соотношение модели (15.5) является тождеством, в него случайное возмущение вводить не следует.

Приведенная форма модели (15.5) имеет вид

(15.6)

Коэффициенты

в макроэкономике называют мультипликаторами; они показывают, какое влияние оказывает единица инвестиций на потребление и доход в экономике. Если, например, b=0.9, то g1=9, а g2=10. Для идентификации модели (15.5)-(15.6) применим косвенный метод наименьших квадратов. Для этого запишем первое уравнение системы (15.6) в виде Ct=a+gIt+ξt и оценим коэффициенты a и g классическим методом наименьших квадратов. После этого коэффициенты структурной формы определяются однозначно:

Если же рассматривать структурную модель (15.1), считая по-прежнему переменные Yt и Ct эндогенными, а переменные It и Gt экзогенными, то приведенная форма получается в виде

(15.7)

Перепишем второе уравнение системы (15.7) в виде

(15.8)

где

(15.9)

Коэффициенты a, g1 и g2 можно найти по методу наименьших квадратов, располагая статистическими данными для переменных Yt, It и Gt, при этом значения g1 и g2 не обязаны совпадать. Для коэффициента b структурной модели (15.1) у нас получилось два, вообще говоря, различных выражения (15.9), модель оказалась сверхидентифицируемой.

Будем рассматривать полученные оценки параметров a, g1 и g2 как первый шаг метода наименьших квадратов. На втором шаге оцениваем методом наименьших квадратов коэффициенты линейной зависимости Ct=a+bYt+et, подставляя вместо статистических данных по Yt расчетные значения эндогенной переменной Yt:

Yt=a+g1It+g1Gt. (15.10)

В описанной схеме вычисленные по формуле (15.10) значения переменной Yt коррелируют с исходными значениями этой переменной, но не коррелируют со случайными возмущениями et. Переменную (15.10) принято называть инструментальной переменной.

Структурная модель спроса и предложения (15.2) является точно идентифицируемой.

Особенностью этой модели является наличие лаговых значений Pt-1. Лаговые и экзогенные переменные в совокупности часто называют предопределенными. В качестве эндогенных переменных модели выступают Qt и Pt. Приведенную форму модели спроса и предложения запишем в виде

(15.11)

Определив коэффициенты этой модели по методу наименьших квадратов, удается однозначно определить коэффициенты модели (15.2). Если же напрямую применить метод наименьших квадратов для определения коэффициентов структурной модели (15.2), то оценки, вообще говоря, получаются смещенными. Рассмотрим этот вопрос на примере:

t Pt-1 Pt Mt Qt

 

Коэффициенты структурной модели (15.11) найдем методом наименьших квадратов, используя, например, опцию «множественная регрессия» пакета Statistica или функцию ЛИНЕЙН из Excel. Получим соотношения

(15.12)

Для вычисления коэффициентов структурной модели (15.2) выразим последовательно Mt и Pt-1 из второго уравнения системы (15.12) и подставим результаты в первое уравнение.

Получим выражения для структурной модели

(15.13)

В то же время непосредственная оценка коэффициентов структурной модели по методу наименьших квадратов дает следующие выражения

(15.14)

Во втором из выписанных соотношений (15.14), оценивающем закон спроса, не удалось верно определить даже знак коэффициента при Pt.

Примером неидентифицируемой модели может служить классическая схема спроса и предложения

(15.15)

В системе (15.15) обе переменные Qt и Pt являются эндогенными, а экзогенных (независимых) переменных нет. Найденные в результате решения системы (15.15) значения Qt и Pt оказываются чисто случайными функциями возмущений e1t и e2t.

Систему (15.15) можно сделать идентифицируемой, введя подходящую экзогенную переменную, например, величину налога Tt:

(15.16)

Для решения задачи идентификации можно использовать двухшаговый метод наименьших квадратов. На первом этапе найдем коэффициенты в формуле

Pt =a+gTt. (15.17)

На втором шаге подставляем вычисленные по формуле (15.17) значения Pt в соотношения (15.16) и методом наименьших квадратов находим коэффициенты ai и bi.