Уравнение многофакторной регрессии, его построение и интерпретация

Как и в парной зависимости возможны различные виды множественной регрессии: линейные и нелинейные. В виду четной интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенные функции.

В уравнении множественной регрессии:

Коэффициенты при х называются коэффициентами « условно чистой» регрессии. Они показывают среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Коэффициенты «условно чистой» регрессии, (b_j₎ являются именованными числами, выраженными в различных единицах измерения (в тех же единицах, что и соответствующие им факторы). Поэтому они не сравнимы друг с другом, т.е. по их величине нельзя сделать вывод, какой из факторов в наибольшей степени влияет на результат.

Параметр а не подлежит экономической интерпретации.

Анализ уравнения регрессии и методика определения его параметров становятся более наглядными, а расчеты существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи этого уравнения. Так, уравнения вида

(4.6)

можно записать следующим образом:

где Y – вектор зависимой переменной размерности (n х 1), представляющий собой n наблюдений значений y_t.

X – матрица независимых переменных, элементы которой суть n x m наблюдения значений независимых переменных X_1, X_{2, …,}X_m размерность данной матрицы равна (n x m);

α – подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности (m х 1);

ε – вектор случайных отклонений (возмущений) размерности (n х 1).

Таким образом,

Х =

1 x₁₁ .... x_1m 1 x₂₁ .... x_2m .... .... .... .... 1 x_n1 .... x_nm

Уравнение (4.6) содержит значения неизвестных параметров α₀, α_1,α_{2, … ,}α_m_.эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров представлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеют вид:

(4.7)

где α – вектор оценок параметров;

ε – вектор «оцененных» отклонений регрессии, ε = Y – Xα – остатки регрессии;

– оценка значений Y, равная Xα.

Для оценивания неизвестного вектора параметров α воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК). Формула для вычисления параметров регрессионного уравнения имеет вид:

α = (Х^ТХ)^-1Х^ТУ (4.8)

Можно воспользоваться и другим способом оценки неизвестных параметров регрессионного уравнения.

Для линейных моделей и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которых позволяет получить оценки параметров регрессии:

Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которых позволяет получить оценки параметров регрессии:

(4.9)

для ее решения может быть применен метод определителей:

(4.10)

где - определитель системы.

- частные определители; которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

(4.11)

где - стандартизованные переменные;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм изменится в среднем результат, если соответствующий фактор x_i изменится на 1 сигму при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии сравнимы между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе воздействия их на результат. Смысл стандартизированных коэффициентов β_j позволяет использовать их при отсеве факторов, т.е. из модели исключаются факторы с наименьшим значением β_j.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

(4.12)

Связь коэффициентов множественной регрессии b_i со стандартизованными коэффициентами описывается соотношением:

(4.13)

Параметр a определяется следующим образом:

(4.14)

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле:

(4.15)

Средние показатели эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяются следующая формула:

(4.16)