Параметрические кубические кривые.
Параметрическая кубическая кривая задаётся тремя уравнениями.
x(t)=axt3+bxt2+cxt+dx
y(t)=ayt3+byt2+cyt+dy
z(t)=azt3+bzt2+czt+dz
Параметр t лежит в пределах от 0 до 1. Нам необходимо знать все коэффициенты уравнений, чтобы однозначно определить положение кривой в пространстве. В определении коэффициентов всегда используют производные.
Производные определяют касательный вектор к данной кривой. Записывают уравнения параметрических кубических кривых в различном виде. Наиболее известны форма Эрмита и форма Безье. В последнее время, в связи с развитием пространственного проектирования сложных объектов используют форму записи в виде B-сплайнов.
1) Рассмотрим форму Эрмита.
Исходными данными являются точки: касательная P1, конечная P4 и касательная вектора в этих точках. Это один приближающий участок.
R1
P4 R4
P1
Для кривой более сложной формы на следующем участке конечная точка становится начальной и добавляется новая конечная.
R4’
R1
P4 R4 P4’
P1
Таких участков может быть сколь угодно много.
X(0) = P1x
X’(0) = R1x
Аналогично по всем координатам. В конечной точке P4:
X(1) = P4x
X’(1) = R4x
…
это равно Сх
 |
T
Аналогично z(t).
Совершенно аналогично для производных.
y’(t) и z’(t) аналогично.
Подставим в x(t) и x’(t) 0 и 1:
x(0) = P1x = [0, 0, 0, 1]* Cx
x(1) = P4x = [1, 1, 1, 1]* Cx
x’(0) = P1x = [0, 0, 1, 0]* Cx = R1x
x’(1) = P4x = [3, 2, 1, 0]* Cx = R4x
Эрмитова
матрица Ghx
x(t)=TMhGhx
y(t)=TMhGhy
z(t)=TMhGhz