Отсюда получим
n
а = ( 1/ n ) å хi = х, (2.10)
i = 1
т.е. наилучшей оценкой является среднее значение х результатов наблюдений.
Из (2.10) следует, что оценка х является случайной величиной с нормальным законом распределения, причем
М [ х ] = а, s2 [ х ] = s2 / n. (2.11)
Таким образом, оценка х имеет более высокую точность, так как ее дисперсия в n раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений характеризуется значением среднего квадратического отклонения погрешности, поэтому из (2.11) следует, что при усреднении результатов n наблюдений случайную погрешность уменьшают в Ö n раз.
Следует отметить, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов n наблюдений снижается при наличии корреляции между этими результатами. Дисперсия оценки х для коррелированных результатов наблюдений
n
s2 [ х ] = ( s2 / n) [1 + ( 2/n ) å rij ],
i < j
где rij - коэффициент корреляции между результатами i -го и j-го наблюдений.
Полученная оценка а = х является состоятельной, несмещенной и эффективной.
Для оценки неопределенности величины а необходимо, используя те же экспериментальные данные, оценить значение дисперсии (или среднего квадратического отклонения) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия ( 2 ), представив ее в виде
n é n ù
L = ( х1, х2,..., хn, а ,s2 ) = Õf ( хi, a ) = ( 2p )-n/2 (s2 )-n/2 exp ê- (1/ 2s2 ) å ( хi - a )2 ê. (2.12)
i = 1 ë i = 1 û
На основе метода максимального правдоподобия найдем оценку s2 из условия
L ( х1, х2,..., хn, а, s2 ) = max. (2.13)
Для упрощения вычислений прологарфимируем (2.12)
n
L = ( х1, х2,..., хn, а ,s2 ) = - ( n / 2 ) ln ( 2p ) - -( n / 2 ) ln (s2 ) - (1/ 2s2 ) å ( хi - a )2. (2.14)
i = 1
Так как логарифм является монотонной функцией, то значения s2, при которых функции ( 7 ) и ( 9 ) достигают экстремума, совпадают. Поэтому оценку дисперсии найдем из условия
¶ ln L ( х1, х2,..., хn, а, s2 ) /¶ s2 = 0. (2.15)
Продифференцировав (2.15) по s2 , получим
n
- (1 / n ) ( 1 / s2) + (1/ 2s4) å ( хi - a )2 = 0. (2.16.)
i = 1
Отсюда найдем оценку, которую обозначим s2
n
s2 = ( 1 / n ) å ( хi - a )2. (2.17)
i = 1
Так как истинное значение а неизвестно, то воспользуемся его оценкой х, а соответствующую оценку дисперсии обозначим S2 :
n
S2 = ( 1 / n ) å ( хi - х )2. (2.18)
i = 1
Рассмотрим вопрос о смещенности полученной оценки S2.
Предварительно преобразуем (2.18):
n n n
S2 = ( 1 / n ) å ( хi2 - 2 х ( 1 / n ) å хi + ( х )2 = ( 1 / n ) å хi2 - ( х )2 . (2.19)
i = 1 i = 1 i = 1
Математическое ожидание оценки S2
é n ù n
М [ S2 ] = М ê( 1 / n ) å хi2 ê - М [( х )2 ] = ( 1 / n ) å М [ хi2 ] - М [( х )2 ] =
ë i = 1 û i = 1
n
= ( 1 / n ) å ( s2 + а2 ) - ( s / n + а2) = s2 ( 1 - 1 / n ) = s2 [( n - 1 ) / n]. (2.20)
i = 1
Таким образом, оценка S2 является смещенной оценкой дисперсии s2, однако
lim М [ S2 ] = s2 .
n®¥
Такая оценка называется асимптотически несмещенной.
Из (2.20) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести поправочный множитель n /( n - 1 ). Полученную несмещенную оценку обозначим s2:
^ n
s2 = n /( n - 1 ) S2 = n /( n - 1 ) å ( хi - х )2. (2.20)
i = 1
Использовав (2.20), можно записать другую формулу для расчета оценки, равносильную ей но более удобную для вычислений:
é n ù
s2 = n /( n - 1 ) ê1 / n å хi2 - ( х2 ) ê. (2.21)
ë i = 1 û
Полученные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Рассмотрим оценивание этих величин с помощью доверительных интервалов.
Определим доверительный интервал для истинного значения а измеряемой величины.
Границы этого интервала зависят не только от оценки а = х измеряемой величины, но и от оценки s среднего квадратического отклонения погрешности. Поэтому для построения доверительного интервала необходимо воспользоваться распределением случайной величины
tn -1 = ( х - а ) / S Ö n - 1 = ( х - а ) / s Ö n. (2.22)
При нормальном распределении погрешности величина tn -1 распределена по закону Стьюдента с n - 1 степенями свободы ( t-распределение). Распределение Стьюдента зависит от от числа опытов n и при n®¥ асимптотически приближается к нормальному.
Обычно в таблицах приводятся значения ta для величины t, имеющей расределение Стьюдента с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия
¥
ò f n - 1 ( t ) dt = a, (2.23)
ta
где f n - 1 ( t ) - плотность t- распределения. Полагая a = ( ! - Р ) / 2 ( Р - доверительная вероятность ) и зная k = n - 1, по таблицам находят границу ta.
Подставив в (2.23) граничные значения ± ta, получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:
х - ta S / Ö n -1 < а < х + ta S / Ö n -1
или
х - ta s / Ö n < а < х + ta s / Ö n .
Построим доверительный интервал для дисперсии s2 случайной погрешности. Доказано, что при нормальном законе распределения случайной погрешности величина
u = n S2 / s2 = ( n - 1 ) s2 / s2
распределена по закону C2n-1 с n - 1 степенями свободы. В таблицах приводятся значения C2a для величины u, имеющей C2-распределение с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия
¥
ò f n - 1 ( u ) du = a, (2.24)
C2a
где f n - 1 ( u ) - плотность C2-распределения. Так как это распределение несимметрично, то по таблице необходимо найти значение верхней C2a1 и нижней C2a2 границ интервала, соответствующие вероятностям a1 = ( 1 - Р ) / 2 и a2 = 1 - ( 1 - Р ) / 2, где Р - доверительная вероятность.
Подставив в (2.24) вместо u найденные граничные значения C2a1 и C2a2 , получим границы доверительного интервала для дисперсии:
n S2 / C2a1 < s2 < n S2 / C2a2
или
( n - 1 ) s2 / C2a1 < s2 < ( n - 1 ) s2 / C2a2.