Основные понятия и определения процессов с ограниченным последействием.
Процессом с ограниченном последействием будем называть такой процесс, при котором потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, являются потоками с ограниченным последействием.
Потоком с ограниченным последействием назовём поток, у которого промежутки времени между событиями в потоке τ1,τ2…τn – последовательность независимых случайных величин. Для однозначного описания такого потока достаточно задать законы распределения всех величин τk (k =1,2…n).
Основные свойства таких потоков:
1) Закон распределения f(τ1,τ2…τn) = f(τ1)f(τ2)…f(τn).
Этот закон распределения соответствует так называемым потоком Пальма.
2) Законы распределения f(τí) при í>1 являются условными законами распределения величин τí при условии, что в начальный момент промежутка τí (í>1) произошло событие.
3) Закон распределения f(τ1) является безусловным ЗР промежутка τ1, при этом относительно появления события в начальный момент времени ничего не известно.
Для потока Пальма имеет место соотношение f(τ1)=f(τ2)=…=f(τn). Отсюда следует, что промежутки времени τí между событиями в потоке Пальма при í>1 одинаково распределены. Математическое ожидание случайной величины τí при í>1
имеет смысл средней длины промежутка времени между событиями в потоке.
Для стационарных потоков с ограниченным последействием имеет место следующая зависимость между f(τ1) и f(τ) (формула Пальма):
Где L-плотность потока Пальма равная 
, f (τ) –закон распределения промежутка времени между событиями в потоке Пальма.
Примером стационарного потока с ограниченным последействием может служить поток Эрланга.
Потоком Эрланга k-го порядка называется ординарный стационарный поток с ограниченным последействием, у которого промежутки времени Т между событиями в потоке являются суммами случайных величин, распределённых по показательному закону с параметром l.
E 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 |
º º º º º º º º º здесь k=3
 |
º º º
E* 1 2 3
Обозначим через Е события, соответствующие пуассоновскому потоку, и предположим, что они пронумерованы в порядке их появления, начиная с некоторого исходного момента. Пусть Е* события, определяемые следующим образом: Е* наступает в момент появления событий Е с номером, кратным k. Тогда поток, состоящий из последовательности событий Е* будет потоком Эрланга k-го порядка. Промежуток времени между n-μ и n+k-μ событиями в потоке Эрланга равен сумме k промежутков времени между событиями в пуассоновском потоке. Следовательно, искомый закон является k-кратной композицией закона Пуассона
,
плотность распределения которого имеет вид:
k-порядок потока Эрланга
l-плотность исходного пуассоновского потока.
 |
 |
 |
Примеры ЗР fk(t) для k=1,2,3,6 при l =1
 |  |  | |||||
 | |||||||
0 5 10 15 20 25
Математическое ожидание и дисперсия промежутка времени между событиями в потоке Эрланга k-го порядка определяются формулами:
mk=k/x
Dk=k/x²
mk=lDk
Ценное свойство потока Эрланга: при неограниченном увеличении порядка потока k и при постоянной плотности Lk поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами времени между событиями, равными 1/Lk, а плотность распределения fk(t) при k→∞ обращается в Т-функцию в точке t=1/Lk
Lk=l/k
Это свойство потоков Эрланга позволяет при различных k получить практически любую степень последействия потока – от полного отсутствия последействия (k=1) до жёсткой функциональной связи между моментами появления событий (k→∞).
Лекция № 22