Теорема Котельникова. Выбор частоты отсчётов квантования по времени по теореме Котельникова.

Во многих измерительных системах связи используется дискретное представление сигнала, т.е. непрерывный сигнал представляется своими дискретными значениями через промежуток времени . Естественно ожидать, что такое представление может привести к потере информации. Но при определённом соотношении между шириной спектра сигнала и временным интервалом можно сохранить всю информацию, содержащуюся в сигнале. Это соотношение устанавливается теоремой отсчётов или теоремой Котельникова.

Владимир Александрович Котельников – академик, советский учёный в области радиотехники и радиофизики. 1933г. - теорема Котельникова.

Теорема Котельникова – если непрерывная функция X(t) удовлетворяет условиям Дирихле (ограничена, кусочно-непрерывная и имеет конечное число промежутков) и её спектр ограничен некоторой частотой , то она полностью определяется последовательностью своих значений в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии где - максимальная частота спектра сигнала.

Условия Дирихле:

а) интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых непрерывна и монотонна – функция ограничена;

б) во всякой точке разрыва существуют значения и

То есть при контроле прогресса, описываемого функцией с ограниченным спектром, достаточно измерять мгновенные значения через промежутки времени .

Выбор частоты отсчётов по теореме Котельникова.

1) Пусть сигнал, описываемый непрерывной функцией времени X(t), имеет ограниченный спектр, т.е. преобразование Фурье.

Спектральная функция (прямое преобразование функции) удовлетворяет условию при . X(t) удовлетворяет условию Дирихле при

2) При представлении сигнала интегралом Фурье, пределы интегрирования можно ограничить значениями от до .

(обратное преобразование функции). Так как удовлетворяет условиям Дирихле, то и удовлетворяет условиям Дирихле. Считаем, что - функция частоты, её дополним до периодической, период которой равен . Разложим эту функцию в ряд Фурье на интервале .

аналогично .

коэффициенты разложения

или

Сравниваем выражения для и , видим, что они совпадают, если а это справедливо; а также

Отсюда

Подставляем выражение для в (ряд Фурье), получим спектральную функцию в виде:

Подставив в X(t), т.е. перейдём к временной записи. Знак k изменим на противоположный с учётом того, что суммирование производится по всем отрицательным и положительным значениям k. Учитывая сходимость ряда и интеграла Фурье, изменим порядок операций интегрирования и .

вычислим интеграл с учётом формулы Эйлера:

Тогда в окончательном виде X(t)

- ряд Котельникова.

Это аналитическое выражение теоремы Котельникова, показывает, что непрерывная функция X(t) с ограниченным спектром может быть точно представлена отсчётами функции , взятыми через равные интервалы

Лекция № 13

 

Непрерывная функция X(t) представляется суммой произведений, один из сомножителей – это коэффициент определяет значение функции в момент отсчёта, а другой – функция отсчётов.

.

Функция имеет следующие свойства:

1) в момент времени , функция достигает наибольшего значения, т.е. равно 1.

2) в момент времени, кратные т.е. где i – любое целое число, обращается в нуль.

Теорема Котельникова относится к сигналам с ограниченным спектром.

Функция отсчётов – это реакция идеального фильтра нижних частот с граничной частотой на - функцию. Если через такой фильтр пропустить квантованный сигнал с то сумма выходных сигналов фильтра даёт исходный непрерывный сигнал.

Поэтому с целью использования теоремы Котельникова для квантования сигналов, реальный спектр сигнала, простирается от 0 до , условно ограничивают некоторый диапазон частот от 0 до , в котором сосредоточена основная (подавляющая) часть энергии спектра.

Практическое применение т. Котельникова встречает трудности:

1) реальные сигналы ограничены во времени и имеют бесконечный спектр, а это противоречит т. Котельникова.

2) для точного восстановления исходной функции необходимо получить и суммарные реакции фильтра на входные импульсы на всей оси времени от до , или большого количества импульсов до и после аппр... участка функции. Это трудно практически реализовать. Функции отсчётов, генерируемые ФНЧ, должны иметь бесконечную протяжённость во времени, как для положительного t, так и для отрицательного t. Такие фильтры физически нереальны.

Если сигнал ограничен интервалом времени Т, то общее число отсчетов равно , -частотная граница спектра сигнала. При 2Т >> 1, . Такой сигнал представляют конечной суммой или усеченным рядом Котельникова:

Число В базой или числом степеней свободы сигнала. Относительная среде-кврадратичная погрешность, связанная с представлением сигнала Х(t) конечным числом отсчетов равна:

,

где P – полная мощность (энегрия) сигнала, - энергия сосредоточенная вне полосы частот [-, характеризует погрешность, возникающую за счет ограничения спектра. Эта погрешность может быть определена как отношение:

.

При заданной относительной погрешности квантования и известном энергетическом спектре процесса можно определить граничную частоту, а затем интервал квантования .