Флуктуации числа молекул в объеме.
Рассмотрим флуктуации биномиального распределения.
4.1. Среднее значение.
Сосчитаем ещё раз среднее значение числа молекул 
в объеме 
:
. (4.1)
Воспользовавшись красивым формальным приемом, запишем среднее через производную:
. (4.2)
После вычисления производной сделаем подстановку 
, тогда
. (4.3)
Итак
. (4.4)
4.2. Относительная квадратичная флуктуация.
Чтобы сосчитать квадратичную флуктуацию (дисперсию), необходимо, помимо 
, знать и 
. Для вычисления этой величины используем тот же формальный прием, что и в предыдущем пункте.
.
Здесь мы воспользовались тем, что .
Итак,
. (4.5)
Сосчитаем теперь относительную квадратичную флуктуацию.
Дисперсия равна
, (4.6)
и тогда для относительной квадратичной флуктуации получаем:
. (4.7)
Важно, что относительная квадратичная флуктуация убывает с ростом числа частиц в системе:
. (4.8)
Физическое содержание полученного выражения очень важно. Исследуем его. Подставим в относительную квадратичную флуктуацию выражения для p и q.
(4.9)
1) Рассмотрим большой объем 
, тогда относительная флуктуация стремится к нулю, т.к. число частиц в объеме 
фиксировано.
2) При уменьшении объема ( 
) относительная флуктуация возрастает, т.е. при 
(4.10)
уменьшаем область рассмотрения и относительная флуктуация возрастает.
3). Пусть 
, тогда 
.
Примеры: а) Пусть 
частиц и , тогда относительная флуктуация
б) Рассмотрим газ, находящийся при нормальных условиях в объеме 
. Средняя концентрация молекул в этом случае составляет 
частиц/мм3.
При получаем очень малую величину относительной квадратичной флуктуации
Полученный результат можно обобщить следующим образом. Относительная флуктуация всякой аддитивной величины убывает обратно пропорционально квадратному корню из числа частиц макроскопического тела, т.е. в макроскопических системах статистические флуктуации незначительны. Поэтому при достаточно большом числе частиц сама аддитивная величина может считаться практически постоянной во времени и с большой точностью равной своему среднему значению. Или иначе, подавляющую часть времени система находится в состояниях, в которых отклонения аддитивных параметров системы от среднего не превышают относительную флуктуацию.
Поэтому поведение системы большого числа частиц можно надежно описывать с помощью средних величин, характеризующих систему.
Распределения Пуассона и Гаусса.
Рассмотрим важные для статистики предельные случаи.
Пусть 
, 
и 
но так, что 
остается постоянным.
Перепишем (3.15) в виде
. (3.16)
В силу выражение, стоящее в фигурных скобках, мало отличается от единицы.
Учитывая далее, что
,
получаем из (3.16) формулу Пуассона:
. (3.17)
Заметим, что 
удовлетворяет условию нормировки
, (3.18)
так как сумма по 
равна 
.
Рассмотрим формулу Пуассона в случае, когда , и 
- большие числа, но 
.
Из (3.17) следует
. (3.19)
Преобразуя это выражение, воспользовавшись для 
полной формулой Стирлинга
,
и проведя дальнейшие преобразования, в результате получим распределение Гаусса:
. (3.21)
(Комментарии: БКФ, т.V, 321-327).
Системы и подсистемы.
Систем, полностью удовлетворяющих термину “замкнутая”, т.е. не взаимодействующих ни с какими другими телами, вообще говоря, в природе не существует, за исключением, вероятно Вселенной.
Поэтому с практической точки зрения более интересными объектами являются малые, по сравнению со всей макроскопической системой, но в то же время содержащие очень большое число частиц, её части.
Такие относительно малые, но в то же время
макроскопические части мы будем называть подсистемами.
Подсистема опять есть механическая система, но уже не
замкнутая, а испытывающая всевозможные воздействия со
стороны остальных частей системы. Благодаря огромному числу
степеней свободы окружающих подсистему остальных частей
системы, эти взаимодействия будут носить сложный и запутанный
характер. Поэтому весьма сложным и запутанным образом будет
меняться со временем и состояние рассматриваемой подсистемы.
Точное решение задачи путем решения задачи механики для всей
системы, как отмечалось выше, представляет собой невыполнимую задачу. Однако, как мы уже знаем, существует иной подход к решению этой задачи – статистический.
Т.о., давая возможность вычислять средние значения величин, характеризующих макроскопические тела, статистика позволяет делать предсказания, оправдывающиеся с весьма большой степенью точности. В этом смысле предсказания статистической физики приобретают практически определенный, а не вероятностный характер.
Квазизамкнутость. Статистическая независимость.
Поскольку подсистемы не являются сами по себе замкнутыми, они подвергаются непрерывному воздействию со стороны остальных частей системы. Но благодаря тому, что эти малые части системы являются сами макроскопическими телами, мы можем считать, что в течение не слишком больших промежутков времени они ведут себя приблизительно как замкнутые системы.
Действительно, во взаимодействии подсистемы с окружающими частями участвуют преимущественно те частицы, которые находятся вблизи её поверхности. Однако относительное число этих частиц по сравнению с полным числом частиц в подсистеме быстро уменьшается с ростом её размеров. Поэтому при значительной величине подсистемы энергия взаимодействия с окружающими частями будет мала по сравнению с её внутренней энергией. О такой подсистеме можно сказать, что она является квазизамкнутой.
Можно провести следующие размерные оценки.
Объемная энергия подсистемы пропорциональна 
, где 
линейный размер, а 
число
частиц в подсистеме.
Поверхностная энергия подсистемы пропорциональна 
.
, если 
велико. (5.3)
Т.е. с увеличением числа частиц в подсистеме объемные эффекты растут значительно быстрее, чем поверхностные. И при достаточно большой подсистеме ее взаимодействие с окружающими частями будет мало по сравнению с внутренними взаимодействиями. Это справедливо и в том случае, когда взаимодействие между частицами мало (идеальный газ).
Еще раз отметим, что квазизамкнутость подсистем будет иметь место лишь на протяжении не слишком длительных промежутков времени. В течение же достаточно большого промежутка времени влияние взаимодействия подсистем – сколь угодно слабое – все равно проявится. Именно это сравнительно слабое взаимодействие и приводит в конце концов к установлению статистического равновесия в системе.
Тот важный факт, что различные подсистемы можно считать слабо взаимодействующими друг с другом, приводит к тому, что на протяжении указанных промежутков времени их можно считать независимыми также и в статистическом смысле.
Статистическая независимость означает, что состояние, в котором находится одна из подсистем, никак не влияет на вероятности различных состояний других подсистем.
Свойства статистического распределения для малых подсистем.
Статистическое распределение малой подсистемы не зависит
1) от начального состояния какой-либо другой малой части той же системы, т.к. влияние этого начального состояния будет в течение времени t вытеснено влиянием остальных обширных частей макросистемы;
2) от начального состояния самой подсистемы, поскольку данная подсистема с течением времени проходит через все возможные состояния и каждое из них может быть выбрано в качестве начального.
Это свойство макросистем и дает возможность находить функцию распределения, не решая уравнения механики для этой системы с учетом начальных условий. Если задача решена и статистическое распределение малой макроскопической подсистемы найдено, тогда можно вычислить вероятности различных значений любых величин, зависящих от состояния рассматриваемой подсистемы.
Важнейший результат этого рассмотрения: подсистему, входящую в замкнутую систему, и ее энергию можно рассматривать и описывать статистически. Это и есть вероятностное описание тепловых процессов.
Несколько раньше мы выяснили, что относительные флуктуации быстро падают с ростом числа частиц и малы для больших , т.е. в течение достаточно большого промежутка времени физические величины мало отклоняются от своих средних значений.
Очень важным является то, что практически все величины, описывающие физические свойства системы, могут рассматриваться как аддитивные. В частности, полная энергия системы может быть определена как
(5.4)
где 
энергия квазизамкнутой подсистемы. Это равенство приблизительное, но выполняется с тем большей точностью, чем больше частиц содержится в системе и подсистемах.
Предположим, что система замкнута и не взаимодействует ни с какими другими телами. Тогда состояние системы можно характеризовать её полной энергией 
, причем 
.
5.3. Статистическое равновесие.
Если замкнутая макросистема находится в состоянии, в котором для каждой ее части, являющейся самой по себе макросистемой, значения физических величин, характеризующих состояние этой подсистемы, с большой точностью равны своим средним значениям, то говорят, что рассматриваемая система находится в состоянии статистического равновесия (о нем говорят также, как о термодинамическом или тепловом равновесии).
Если система наблюдается в течение достаточно большого промежутка времени, то подавляющую часть этого промежутка оно проводит в состоянии статистического равновесия.
Если в какой-то начальный момент времени система не находилась в состоянии статистического равновесия (например, искусственно была выведена из него внешними воздействиями, а потом снова стала замкнутой), то в дальнейшем она обязательно перейдет в состояние статистического равновесия. Промежуток времени перехода в состояние статистического равновесия есть время релаксации. Переходные процессы изучает кинетика, а статистика изучает системы, находящиеся в состоянии статистического равновесия.
-13; просмотров: