Визначення відношення питомих теплоємностей газу методом адіабатичного розширення

 

Прилади та матеріали: сферичний балон із рідинним манометром і ручним на­сосом.

Теоретичні відомості

Під теплоємністю газу розуміють фізичну величину, чисельно рівну кількості теплоти, яку треба затратити, щоб нагріти газ на 1° С. Якщо передана кількість тепла dQ підвищує його температуру на dТ, то теплоємність дорівнює

. (8.1)

Питомою теплоємністю називають величину, яка чисельно дорівнює кілько­сті теплоти, необхідної для нагрівання одиниці маси газу на 1° С. Якщо розгля­дають нагрівання одного моля газу, то теплоємність називають молярною.

Величину питомої теплоємності газу визначають не лише за його фізичною природою, а й за умовами нагрівання. Під час нагрівання газу можна залишати постійним внутрішній тиск, тоді його об'єм буде збільшуватися. Можна також підтримувати постійний об'єм газу, тоді зростатиме його тиск. У першому випадку (ізобарний процес) теплота витрачається на збільшення енергії руху молекул газу і на роботу розширення. У другому – тільки на збільшення кінетичної енергії, тобто на підвищення температури газу.

Таким чином, для нагрівання однакової маси газу на однакову кількість гра­дусів у ході ізобарного процесу треба затратити теплоти більше, ніж під час ізохорного. Зрозуміло, що питома теплоємність газу за постійного тиску С_р більша, ніж питома теплоємність за постійного об'єму С­_v.

Безпосереднє визначення величин С_р і особливо С_v пов'язане із серйозними труд­нощами. Тому на практиці експериментально знаходять величину γ = C_p/С_v та С_p, а потім обчислюють С_v.

Залежність характеру фізичних явищ у газах від величини γ най­більш чітко проявляється тоді, коли ці явища пов'язані з так званими адіабатичними процесами або процесами, близькими до них.

Для вивчення процесів, які відбуваються в газі під час нагрівання його за сталих об'єму й тиску, а також для знаходження величини γ=С_р/С_у застосуємо рів­няння Клапейрона

(8.2)

і перший закон термодинаміки

. (8.3)

Кількість тепла dQ, переданого системі, витрачається на збільшення її внут-рішньої енергії dU і на роботу dА, яку здійснює система проти зовнішніх сил. Елементарна робота dА = РdV.

Диференціюючи рівняння (8.3) і враховуючи формулу (8.1), одержимо

. (8.4)

Із рівняння (8.4) видно, що теплоємність може мати різні значення залежно від способу нагрівання газу, оскільки одному й тому ж значенню dТ можуть від­повідати різні dU і dA.

Розглянемо основні процеси, які відбуваються в ідеальному газі кількістю 1 моль.

Під час ізохорного процесу (V=const) газ не здійснює роботу (dА = 0) над зовнішніми тілами і, як видно з виразу (8.3), усе тепло йде на збільшення внутрішньої енергії газу:

, (8.5)

де dQ – кількість тепла, переданого газу за умов постійного об'єму; dU – зміна внут­рішньої енергії газу.

Із рівнянь (8.1) і (8.5) випливає, що теплоємність газу за сталого об'єму,
дорівнює

. (8.6)

Внутрішня енергія 1 моля ідеального газу є

,

де і – число ступенів свободи молекул газу (і=3 – для одноатомного газу; і=5– для двохатомного газу; і=6 – для трьох- і багатоатомних газів).

Таким чином, теплоємність 1 моля газу за сталого об'єму

. (8.7)

Як видно з виразу (8.7), для ідеального газу молярна теплоємність С_v за сталого об'єму не залежить від температури.

Під час ізобарного процесу (Р=const) газ, нагріваючись, буде розширюватися і здійснювати над зовнішніми тілами позитивну роботу. Кількість тепла, переда­ного газу, можна описати рівнянням (8.3). Поділивши обидві час­тини цього рівняння на dТ і враховуючи вирази(8.1) і (8.6), одержимо (на 1 моль газу)

, (8.8)

де

^{, .}

Із рівняння Клапейрона (РV=RТ) (для 1 моля газу)

. (8.9)

Підставивши останній вираз (8.9) у рівняння (8.8), одержимо

. (8.10)

Позначимо співвідношення С_р / С_v як γ.

Під час ізотермічного процесу (Т=const) усе тепло витрачається на ро­боту, внутрішня енергія залишається постійною (dU=0), dQ=dА.

Адіабатичним називають такий процес, під час якого система не одержує і не віддає енергію тілам, що не належать до неї, тобто процес проходить без теплообміну із зовнішнім середовищем:

.

Перший закон термодинаміки для адіабатичного процесу буде мати вигляд

. (8.11)

Це означає, що під час розширення або стискання газу робота від­бувається за рахунок зміни його внутрішньої енергії.

Виведемо рівняння адіабатичного процесу. Здійснимо такі зміни в рівнянні (8.11):

, ,

тоді

. (8.12)

Диференціюючи рівняння (8.2) (для 1 моля), одержимо

. (8.13)

Поділивши рівняння (8.13) на (8.12) і враховуючи рівняння (8.10), матимемо

aбо

, (8.14)

де γ=C_p/C_v.

Інтегруючи і потенціюючи вираз (8.14), одержимо рівняння Пуассона (рівняння адіа­бати):

. (8.15)

Рис.8.1

Опис приладу та методу вимірювання

Рис. 8.1

Прилад для вивчення адіабатного процесу (рис.8.1) складається зі сферичного балона А, з'єднаного з манометром М. У балон вбудований насос Н. Кран К з'єднує балон із зовні­шнім середовищем. Нехай повітря в балоні знаходиться під атмосферним тиском Р, а його об'єм – V. Накачаємо в балон деяку кіль­кість повітря. Якщо накачування відбувалося до­сить швидко, рівень рідини в манометрі не зразу займе остаточне положення, оскільки стис­кання газу було адіабатичне і його температура підвищилася.

Взагалі накачування повітря триває деякий час, тому цей процес не можна вважати строго адіабатичним. У результаті теплообміну через 2–3 хв температура повітря в балоні зрівняється з температурою навколишнього середовища. У таких умовах повітря буде займати об'єм V₁ і знаходитись під тиском Р₁ за те­мператури Т₁ (рис.8.2, I), причому

, (8.16)

Рис. 8.2

де Р₀ – атмосферний тиск (мм рт. ст.); h₁ – різниця рівнів у манометрі (мм рт.ст.). Якщо відкрити кран К на короткий час, то тиск повітря в балоні буде змен­шуватися, доки не стане рівний Р₀. Температура повітря знизиться, тому що внаслідок розширення робота буде відбуватися за рахунок внутрі­шньої енергії. Повітря в балоні можна охарактеризувати за графіком (рис 8.2, II). Адіа­батичний перехід зі стану I у стан II відповідає рівнянню Пуас­сона (8.15), тобто

. (8.17)

Якщо одразу після досягнення тиску Р₀ негайно закрити кран К, то повітря в балоні внаслідок теплообміну буде нагріватися ізохорно до кімнатної темпера­тури Т (рис. 8.2 III).

Для стану III характерний тиск

. (8.18)

Стан I (Р₁, V₁, Т₁) і cтан III (Р₂, V₂, Т₂) належать до однієї ізотерми. Тому, застосо­вуючи закон Бойля – Маріотта, одержимо

Рис.8.2

. (8.19)

Піднесемо рівняння (8.19) до степеня γ і, поділивши його на рівняння (8.17), одержимо

, ,

 

звідки

.

Логарифмуючи останнє рівняння, знаходимо коефіцієнт :

. (8.20)

Із рівнянь (8.16) і (8.18) маємо

; . (8.21)

Підставивши рівняння (8.21) у (8.20), одержимо

Рис.8.2

.

Величини і набагато менші одиниці. Для невеликих величин правдиве приблизне рівняння ln(1- х) = -х. Враховуючи його, остаточно одержимо

. (8.22)

 

Хід роботи

 

1. За умов закритого крана К накачати в балон повітря, доки різниця рівнів рідини в манометрі не досягне 20 – 25 см.

2. Через декілька хвилин, коли температура повітря в балоні зрівняється з кімнатною (рівні рідини перестануть змінюватися), заміряти різ­ницю рівнів рідини в манометрі, тобто визначити h₁ із точністю до 1 мм.

3. Відкрити кран К і відразу ж закрити його, як тільки тиск у балоні стане рів­ний атмосферному (у цей момент рівні рідини в манометрі матимуть однако­ву висоту). За цей час повітря в балоні охолодиться.

4. Через 3 – 5 хв температура повітря в балоні зрівняється з кімнат­ною, унаслідок чого­ву висоту). За цей час повітря в балоні охолодиться.

4. Через 3 – 5 хв температура повітря в балоні зрівняється з кімнат­ною, унаслідок чого виникне різниця рівнів рідини в колінах манометра (h₂), яку треба визначити з точністю до 1 мм.

5. Дослід провести 7 – 10 разів за різних кількостей накачуваного повітря в ба­лоні.

6. Для кожного досліду за формулою (8.22 ) знайти величину γ. Одержані дані занести до табл.8.1

7. Обчислити відносну й абсолютну похибки вимірів.

8. Остаточний результат подати в такому вигляді:

.

 

Таблиця 8.1

 

 

 

№ п/п	Рівні до розширення	h1	Рівні після розширення	h2	γ	γ ср.
лі­вий	правий	лі­вий	правий
∙∙∙