Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы A на число λ заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен: b_ij = λa_ij.

Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: cij = aij + bij.

Умножение матриц.

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения AxB) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго:

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность mxn , B — nxk , то размерность их произведения AB = C есть mxk.

Транспонирование.

Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. A = (aij), то A^T = (aji).

Симметричной матрицей называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Это означает, что она равна её транспонированной матрице.

Ранг матрицы

Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.

Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Обра́тная ма́трица — такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

A*A^-1 = A^-1*A = E.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

C* - матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы.

МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ:

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть: A + 0 = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

Коммутативность сложения: A + B = B + A.

Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC.

(B + C)A = BA + CA.

Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A

(AB)^T = B^TA^T

(A ^{− 1})^T = (A^T) ^{− 1}, если обратная матрица A ^{- 1} существует.

(A + B)^T = A^T + B^T

detA = detA^T .

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих трёх типов:

Перестановка двух строк или столбцов матрицы;

Умножение строки или столбца на число отличное от нуля;

Прибавление к одной строке или столбцу матрицы другой её строки или столбца, умноженной на любое число!

Минором элемента матрицы называется определитель матрицы, полученной вычеркиванием строки и столбца, в которых расположен элемент. Обозначаем: минор элемента

a_ij = .

Следствие: Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:

Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится, т.е.

.

Свойство 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Свойство 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный, т.е.

.

Свойство 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:

Свойство 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:

Свойство 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:

.

Следствие. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:

.

Свойство 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:

.

Свойство 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится:

.

Свойство 9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится:

.

Следствие . Определитель единичной матрицы равен единице .

Система m линейных уравнений с n неизвестными в линейной алгебре — это система уравнений вида:

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы — совокупность n чисел c_1, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида может иметь одно или более решений.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

 

20) Метод Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.

Пусть имеется система уравнений:

.

Обозначим через Δ определитель матрицы системы и через Δj определитель, который получается из определителя Δ заметой j-го столбца столбцом правых частей системы ( j=1,2,...n):

.

Теорема

Если определитель матрицы отличен от нуля, т.е. Δ ≠0, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле:

.

 

.