Задание 4

 

Пусть в опыте наблюдается одновременно значения двух случайных величин X, Y(двух признаков). В результате получена двухмерная выборка объема n=30 приведенная в таблице 3.

4.1.Вычислим выборочные средние выборочные дисперсии и среднеквадратические отклонения по каждому из признаков (признакX рассчитан в Задании 1)

Выборочный коэффициент корреляции ,, между наблюдаемыми случайными величинами вычислим поформуле:

получим выборочное среднее произведение =58284,09 и коэффициент корреляции = 0,976

Таблица 3.

i X Y i X Y i X Y
21,2 21,2 34,2
32,6 20,4 33,8
44,4 15,7 64,5
64,4 36,6 40,5
39,5 48,7
32,1 36,5
31,7 42,8
30,2 38,1
33,5 35,4
22,7

Построим прямую линейной среднеквадратической регрессии

Вычислим коэффициенты этой прямой и получим ее уравнение . Оно приставляет собой линейное приближение уравнения регрессии у = M[У|х] и построено методом наименьших квадратов, т.е. сумма квадратов отклонения наблюдаемых в выборке точек ( )-от соответствующих точек прямой ( , ) является минимальной среди всех возможных прямых. Построенная прямая приведена на рис. 3, на нем: же приведены и точки выборки.

Рис.3.

 

4.2. Выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной, поэтому полученное на нашей выборке значение = 0,976 может не отражать истинного значения коэффициента корреляции (X,Y).

Проверим гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции, это позволит судить о наличии корреляционной связи между признаками X и Y. В качестве основной гипотезы возьмем предположение об отсутствии корреляции допустим так же что двухмерная случайная величина (X,Y) имеет нормальное распределение. Примем за критерий случайную величину

которая, при справедливости основной гипотезы, имеет распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы. Тогда, задаваясь уровнем значимости ошибки И-рода (отвергнуть верную гипотезу) =0,1 и альтернативной гипотезой , находим крйтичеcкие точки двухсторонней критической области из решения уравнения

Эта решения представляются распределением Стьюдента и

находятся из таблиц . Тогда критерий проверки основной гипотезы Но об отсутствии корреляции междуX и Y состоит в следующем:

если гипотеза принимается ( найденный коэффициент

корреляции не значителен, случайно отличен от нуля),

если гипотеза отвергается (корреляция значительна )

В нашем примере , а = (0,05;28)=1,85 и тогда согласно

критерию гипотеза об отсутствии корреляции наблюдаемых случайных величин Xи Yотвергается, т.е. найденный выборочный коэффициент корреляции значим.