Б.7 Использование фильтра Калмана для ассимиляции гидрометеорологических данных

 

Проблема ассимиляции гидрометеорологических данных может рассматриваться как решение задачи фильтрации, где ошибки измерений и моделирования выступают в виде шума, который необходимо отфильтровать, чтобы выделить сигнал. Одним из наиболее эффективных методов решения подобной задачи является фильтр Калмана [12].

Атмосфера является системой, состояние которой характеризуется определенным набором характеристик, являющихся элементами вектора состояния системы , отнесенного к заданному моменту времени. Кроме того, имеется ряд переменных, некоторым образом связанных с вектором состояния системы, которые можно измерить с определенной точностью и которые относятся к определенному моменту времени. Эти величины составляют вектор измерений . Задача формулируется как построение оптимальной оценки вектора состояния системы, основываясь на векторе измерений с погрешностями. При этом вектор измерений рассматривается как входной сигнал, отягощенный погрешностями (шумом), а вектор состояния - как неизвестный многомерный сигнал, подлежащий оценке. Задача решается как отфильтровывание шума (погрешностей).

 

 

Условием оптимальности построенной оценки состояния является минимум ее среднеквадратической ошибки. Рисунок иллюстрирует работу алгоритма фильтра Калмана. Начальными условиями на каждом новом цикле алгоритма служат оценка состояния системы и величина, характеризующая ее погрешность. В случае скалярной переменной такой характеристикой является дисперсия, которая тем больше, чем сильнее разброс индивидуальных значений относительно истинного. Распространенная оценка дисперсии — среднеквадратическое отклонение, то есть квадрат стандартного отклонения, — выражает степень разброса величины относительно среднего. Обобщением дисперсии для вектора, то есть совокупности скалярных величин, служит ковариационная матрица. Ее диагональные элементы являются дисперсиями соответствующих составляющих вектора, а недиагональные — ковариациями, характеризующими взаимосвязь между парой составляющих. Совокупность измерений, отнесенных к каждому из моментов времени, обобщает вектор измерений. Алгоритм последовательно обрабатывает вновь поступающие векторы измерений, учитывая при этом значения, вычисленные на предшествующем цикле. Эта особенность отличает алгоритм фильтра Калмана от нерекуррентных алгоритмов, которым для работы требуется хранить весь массив обрабатываемых данных. На следующем шаге с помощью обрабатываемых на данном цикле измерений уточняются начальные условия.

Для этого алгоритм вычисляет вес поправок к ним на основе ковариационных матриц оценки состояния и измерений. Чем меньшей погрешностью характеризуются измерения по сравнению с оценкой состояния системы, тем больший вес они получат. Относительные веса неизвестных, определяющих вектор состояния системы, зависят от степени их влияния на вектор измерений: больший вес получат те переменные, вклад которых в измерения больше.

Фильтр Калмана является примером последовательного метода ассимиляции распределенных во времени данных измерений, что означает корректировку начальных данных для моделирования на каждом шаге модели в отличие от 4-мерного вариационного анализа, который рассматривает все данные измерений внутри определенного окна ассимиляции.

Прогностическое уравнение для вычисления изменчивости вектора состояния:

,

прогностическое уравнение для вычисления изменчивости ошибок прогноза:

,

где - ковариационная матрица ошибок прогноза в момент времени ,

- ковариационная матрица ошибок анализа в момент времени .

Таким образом, использование методики фильтра Калмана позволяет рассчитывать как прогностические значения вектора состояния, так и ковариационную матрицу ошибок прогноза. Ковариационные матрицы ошибок прогноза и анализа являются идентичными матрицам ошибок оценки фонового состояния и анализа .

Прогностическая часть алгоритма должна быть дополнена уравнениями для вычисления результатов анализа вектора состояния, матрицы преобразования весов, а также ковариационной матрицы ошибок анализа. Эти уравнения аналогичны выведенным при рассмотрении обобщенного метода оптимальной интерполяции:

Данные три уравнения представляют собой аналитическую часть метода фильтра Калмана, а уравнения для прогноза вектора состояния и ковариационной матрицы ошибок – прогностическую часть фильтра Калмана.

Если есть результаты измерений , ошибки измерений , и ошибки моделирования , то начиная с начального момента времени , если определены и , то можно вычислить значения анализа в этот момент времени и ошибки анализа . Затем, используя прогностические уравнения, вычислить для следующего момента времени прогностические значения вектора состояния и ковариационную матрицу ошибок прогноза . После этого последовательность повторяется, т.е. вычисляются и и т.д. для последующих моментов времени.

Фильтр Калмана аналогичен оптимальной интерполяции в части анализа и четырехмерному вариационному анализу в прогностической части, если не учитывается ошибка моделирования.

Если оператор модели нелинейный, то используется расширенный фильтр Калмана, в котором оператор линеаризуется в окрестности анализируемого вектора состояния , а оператор наблюдений линеаризуется около . Таким образом, подразумевается, что

.

Вычислительная стоимость фильтра Калмана и его расширенного варианта получается достаточно большой, т.к. помимо собственно анализа, который, как было определено при исследовании оптимальной интерполяции, занимает много процессорного времени и памяти, нужно еще оценивать матрицы ковариаций анализа, делать прогноз вектора состояния, вычислять Якобиан для нелинейной модели и прогноз изменения матрицы ковариаций анализа. В результате вычислительная стоимость фильтра Калмана намного больше 4-мерного вариационного для той же задачи, даже для малых моделей.

 

Б.7.1 Упрощения фильтра Калмана.

Из-за сложности процедуры использования фильтра Калмана в многомерных, нелинейных системах используются его упрощения [13].

а) Комбинация 4-мерного вариационного метода и фильтра Калмана. Если в качестве окна ассимиляции брать модельный шаг, то 4-D VAR метод позволяет эффективно вычислять ковариационную матрицу ошибок анализа, избегая большого числа вычислений при оценке ее обычным способом. Затем можно использовать фильтр Калмана дляь ковариационную матрицу ошибок анализа, избегая большого числа вычислений при оценке ее обычным способом. Затем можно использовать фильтр Калмана для прогноза ковариационной матрицы ошибок прогноза в следующий момент времени.

б) Ансамблевый фильтр Калмана.

Статистический подход используется для оценки ковариационных матриц ошибок фонового состояния и анализа [14]. Идея заключается в формировании статистического образа анализа. Для этого система анализа используется несколько раз для оценки аналитического значения вектора состояния, соответствующего значениям фонового состояния, отличающего на величину характерной ошибки оценки фонового состояния. В результате разница между результатами анализа формирует статистический образ матрицы ошибок анализа:

,

где скобки означают осреднение по ансамблю.

Интегрируя на короткий период модель от каждого значения анализа, получаем значения прогноза, которые формируют матрицу ошибок фонового состояния

.