Касательная и нормаль к линии.
Из геометрического смысла производной следует, что если нам известно уравнение 
некоторой линии 
в системе декартовых координат 
на плоскости, то мы можем аналитически решать геометрические задачи, относящиеся к касательной к этой линии. Прежде всего составим уравнение касательной к линии в ее точке 
где 
Так касательная прямая проходит через точку 
и имеет угловой коэффициент, равный 
то ее уравнение таково:
Определение. Нормалью к линии в ее точке 
называется прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к касательной в той же точке.
Так как нормаль к линии в точке проходит через точку и имеет угловой коэффициент, равный
то ее уравнение таково:
Пример.
Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Решение. Так как
то угловой коэффициент касательной равен 
Следовательно, уравнение касательной:
или 
Уравнение нормали: 
или 
Вариант 1.
- Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
- Написать уравнение касательной и нормали к кривой
в точке 
Вариант 2.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
12) 
,
13) 
,
14) 
.
- Написать уравнение касательной и нормали к кривой
в точке 
Вариант 3.
1.Найти производные следующих функций:
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 4.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
- Написать уравнение касательной и нормали к кривой
в точке 
Вариант 5.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 6.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 7.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 8.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке
Вариант 9.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 10.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 11.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 12.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
, 
в точке 
Вариант 13.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 14.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 15.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 16.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) ,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 17.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 18.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 19.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 20.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 21.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 22.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 
Вариант 23.
1.Найти производные следующих функций:
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
6) 
,
7) 
,
8) 
,
9) 
,
10) 
,
11) 
,
12) 
,
13) 
,
14) 
.
2.Написать уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке 