Артаганальныя аператары

Азн.15.1. Няхай ε – эўклідава прастора. Лінейнае пераўтварэннеf:ε ε называецца артаганальным, калі Îε .

Прыклад. У эўклідавай прасторы V₂ са скалярным здабыткам

аператар f: V₂ V₂ (паварот на вугал a з прыкладу 11.3) з’яўляецца артаганальным.

Ул-ць.15.2. Адвольнае артаганальнае пераўтварэнне прасторы εⁿ з’яўляецца аўтамарфізмам ( гэта значыць, біектыўным пераўтварэннем εⁿ).

Доказ. Няхай f: εⁿ εⁿ – артаганальнае адлюстраванне. Дакажам ін’ектыўнасць f. Ад процілеглага.. Калі і тады , значыцца, , а гэта супярэчыць умове .

Дакажам сюр’ектыўнасць . Няхай f не з’яўляецца сюр’ектыўным, тады падпрастора у εⁿ не роўная εⁿ. Калі - базіс ў εⁿ, тады вектары не ўтвараюць базіс εⁿ, значыцца, яны лінейна залежныя. Значыцца, існуюць R не ўсе роўныя нулю, такія, што і . З ін΄ектыўнасці f вынікае, што , а паколькі не ўсе каэфіцыенты роўныя 0, гэта супярэчыць таму, што - базіс εⁿ.■

Ул-ць.15.3. Каліf: ε ε – артаганальны аператар, тады:

1)fзахоўвае норму вектара (гэта значыць, што );

2)fзахоўвае вугал паміж вектарамі

( гэта значыць, што ε\{ } = ).

Доказ. 1) , значыцца .

2) , адкуль = .■

Ул-ць. 1 5.4. Лінейны аператар f: εⁿ εⁿ з’яўляецца артаганальным тады і толькі тыды, калі для адвольнага ортаўнармаванага базіса вектары таксама ўтвараюць ортаўнармаваны базіс.

Доказ. 1) З таго, што - ортаўнармаваны базіс па 15.3, атрымоўваем, што - таксама ортаўнармаваны базіс.

2) Няхай і ортаўнармаваныя базісы εⁿ. Няхай вектары маюць у базісе слупкі каардынат і . З лінейнасці f вынікае, што маюць таксама слупкі каардынат і у базісе . Адсюль па 14.8 атрымоўваем, што і .■

Азн.15.5. МатрвцаAÎMat(n´n;R) называецца артаганальнай, калі .

Прыклад.

Лемма 15.6. КаліA,BÎMat(n´n;R) і X,YÎRⁿ тады .

Доказ. . Паколькі , - адвольныя, разгледзім -слупок, у якога і-ы элемент роўны 1, а ўсе астатнія роўныя 0. Адпаведнв абазначым і Нескладана ўбачыць, што . З гэтага вынікае, што , значыцца, .■

Ул-ць.15.7. Артаганальны аператар эўклідавай праторы εⁿ у ортаўнармаваным базісе мае артаганальную матрыцу.

Доказ. Няхай - ортаўнармаваны базіс εⁿ, f: εⁿ εⁿ – артаганальны аператар і А- яго матрыца ў гэтым базісе. Разгледзім адвольныя вектары Îεⁿ, якія маюць слупкі каардынат , адпаведна ў дадзеным базісе. Тады вектары і маюць слупкі каардынат і адпаведна. З артаганальнасці f па 14.7 вынікае, што

,

З лемы 15.6 вынікае, што .■

Ул-ць.15.8. Няхай у эўклідавай прасторы зададзены ортаўнармаваны базіс. Як вядома, кожнай матрыцыAÎMat(n´n;R) адпавядае лінейны аператарf: εⁿ εⁿ, які ў гэтым базісе мае матрыцуА. Аператарfартаганальны тады і толькі тады, калі матрыцаАартаганальная.

Доказ. (сам-на).

Ул-ць.15.9. Кампазіцыя артаганальных аператараў – артаганальны аператар.

Доказ.Няхай f: ε ε і g: ε ε - артаганальныя, тады Îε

■

,