Вопросы и задания для самостоятельной работы 9 страница

Выделенные 10 типов задач являются основными, однако ими, как уже отмечалось, не исчерпывается все многообразие простых задач, решаемых в начальных классах. И это естественно, так как с помощью задач у учащихся формируются представления не только об арифметических операциях, отношениях «больше), «меньше), «равно», но и о некоторых других математических понятиях, например о дроби. Методические особенности обучения детей решению этих задач будут рассмотрены в конце данного параграфа.

Остановимся на основных вопросах методики обучения учащихся решению задач каждого из выделенных типов.

Задачи, раскрывающие смысл операции сложения. Это первые задачи, с которыми встречаются учащиеся. Здесь они знакомятся с понятиями: «условие задачи» («о чем говорится в задаче?»), «вопрос» или «требование задачи» («что необходимо найти?», «о чем спрашивается в задаче?»); получают представление о краткой записи условия задачи, учатся выполнять предметные иллюстрации по ее содержанию, т. е. приобретают опыт использования общих приемов работы над текстовой задачей.

В качестве исходных могут служить, например, следующие задачи: «Сережа нашел 2 белых гриба и З подосиновика. Сколько грибов нашел Сережа?; «У Наташи 2 куклы, а у Сережи заводных автомобиля. Сколько игрушек у Наташи и Сережи вместе?»; «На дереве сидели 2 синицы. Прилетели З снегиря. Сколько птиц стало на дереве?»

\Сравнивая выполненные учителем краткие записи условий задач учащиеся могут убедиться, что, несмотря на разные сюжеты, эти задачи имеют и общее: в условии — два числовых данных и требуется найти «сколько всего» (грибов, игрушек, птиц). для того

чтобы ученики осознанно выбрали арифметическое действие для решения задач данного типа, учитель должен рассмотреть с ними со

ответствующие предметные иллюстрации.

Из вузовского курса математики известно, что существуют два

подхода к определению операции сложения — теоретико-множественный и аксиоматический. В начальной школе используется первый

подход: суммой чисел а и Ь называется такое число с, которое выражает численность элементов множества С=А [‚В (А ПВ— ), где

численность элементов множеств А и В выражается соответственно числами а и Ь. Этим и определяется характер иллюстраций, раскрывающих математическое содержание задач рассматриваемого

типа.

Рассмотрим один из вариантов знакомства учащихся с операцией

сложения на примере задачи: «Сережа нашел 2 белых гриба и З под

осиновика. Сколько грибов нашел Сережа?»

После анализа текста задачи ее содержание иллюстрируется на

наборном полотне (рис. 51).

«Чтобы ответить на вопрос задачи: Сколько всего грибов нашел

Сережа,— говорит учитель,— положим и белые грибы и подосиновики в одну корзинку (устанавливает

«грибы» в одном кармашке наборного полотна). Сколько грибов мы

положили в корзинку? 2 белых и З подосиновика. в математике

говорят так: к двум прибавили

три. На математическом языке это

записывается: 2 + З. Сколько грибов оказалось в корзинке? Пять. В математике говорят: «К двум

прибавить три равняется пяти» и записывают: «2 + З = 5.

Таким же образом решается несколько подобных задач. При этом

учитель должен показать учащимся, что практические действия

определенного рода над двумя множествами предметов описываются

в математике одинаково — как сложение двух чисел.

Необходимость в предметных иллюстрациях может довольно бы

стро исчезнуть. Во-первых, потому, что они достаточно трудоемки и

громоздки. Во-вторых, сюжеты задач данного типа схожи в том

смысле, что имеют вид: «Есть а и Ь. Сколько всего?»- или «Есть а.

Приехало (прилетело, приплыло, купили, нашли и т. д.) Ь. Сколько

стало?» Поэтому учащиеся и без помощи иллюстраций определяют,

каким действием решается задача.

Очень важным компонентом методики работы над задачами является использование учителем упражнений такого рода: «В саду растут яблони и груши. Составьте такую задачу, чтобы она решалась так: 4+2 «Составьте задачу о снегирях и синицах, чтобы она решалась так: 3+2»; «Составьте задачу, чтобы она решалась так:

5+3»ит.д. /

Задачи, раскрывающие смысл операции вычитания. Известно, что изучение понятий во взаимосвязи противопоставлении, выявлении общего) способствует более качественному усвоению учащимися каждого из этих понятий. Поэтому обучать школьников решению задач, раскрывающих смысл сложения и вычитания, необходимо одновременно. Так как сложение определяется через объединение непересекающихся множеств, то вычитание также определяется через операцию на множествах. Разностью чисел а и Ь называют такое число с, которое выражает численность элементов множества С= = А\В (В А), где численность элементов множеств А и В выражается соответственно числами а и Ь.

Рассмотрим возможный вариант знакомства учащихся с операцией вычитания с помощью задач соответствующего типа. Школьникам, например, предлагается такая задача: «У Наташи б флажков. два она отдала брату. Сколько флажков осталось у Наташи?». После анализа текста задачи ученики под руководством учителя выполняют иллюстрацию ее содержания на наборном полотне. В наборное полотно устанавливается б флажков. Затем выполняется действие 2 флажка удаляются (рис. 52). Констатируется: было

б флажков, 2 убрали, осталось 4. «В математике,— говорит учитель,— выполненное решение задачи записывается так: 6—2=4. Говорят, что от б отняли 2, или из б вычли 2 и получили 4».

Аналогично можно решить еще несколько задач. В дальнейшем учащиеся определяют необходимое для решения арифметическое действие без иллюстраций, используя опорные слова условия: «Было а. Уехало (улетело, уплыло, израсходовали и т. д.) Ь. Сколько осталось?»

 

Наряду с решением задач ученики должны выполнять задания по составлению задач по данному выражению.

Задачи, раскрывающие связь между сложением и вычитанием. При решении задач первых двух типов у учащихся может сложиться представление, что для решения задачи достаточно найти в условии или требовании опорное_ слово и по нему определить арифметическое действие. Поэтому необходимо перейти к задачам, в которых хорошо «работавшие» ранее опорные слова не только не помогав т правильно выбрать арифметическое действие, но и могут ввести в заблуждение. Приведем примеры таких задач.

задача 20. Сережа подарил Юре 2 марки, а Коле -— З марки.

Сколько марок подарил Сережа?

Зад а ч а 2 i. у Сережи было несколько марок. Три марки ему подарили. У него стало 8 марок. Сколько марок было у Сережи в начале?

Задача 22. у Сережи было З марки. Ему подарили несколько марок. Всего у него стало 8 марок. Сколько марок подарили Сереже?

Задача 23. у Сережи было несколько марок. Три марки он

подарил другу. После этого у него осталось 5 марок. Сколько марок

было у Сережи вначале?

Слово «подарил» (т. е. отдал) в задаче 20 «подсказывает», что она решается вычитанием, слова «Сереже подарили» (т. е. дали) в задаче 21 обусловливают действие сложения. На самом же деле эти

задачи решаются соответственно обратными действиями.

Особенность задач 21—23 состоит еще и в том, что математически их содержание может быть выражено двояко: и уравнениями (х+ +а = Ь, а + х = Ь, х — а Ь) и выражениями (Ь а, а + Ь). С помощью таких задач у учащихся могут формироваться начальные представления об уравнениях, о связи между сложением и вычитанием. В целом же задачи 20—23 представляют собой сложные варианты задач на нахождение суммы и разности, они требуют от учащихся глубокого понимания сущности операций сложения и вычитания, осуществления довольно сложной умственной деятельности. для того чтобы деятельность такого рода была возможна, на начальном этапе обучения решению таких задач необходимо использовать предметные

иллюстрации. Причем работу с иллюстрациями учащиеся смогут выполнять с большей самостоятельностью, чем раньше,— ведь у них уже есть некоторый опыт. Рассмотрим ее содержание на примерах задач 20 и 21.

В соответствии с условием задачи 20 заполняются два кармашка наборного полотна. В один устанавливаются 2 кружка (т. е. «марки»), а в другой — З кружка. Чтобы определить, сколько всего марок подарил Сережа, кружки укладываются в один кармашек, т. е. выполняется объединение двух множеств. Выполненное руками действие учащиеся уже умеют называть и записывать на математическом языке -— «к двум прибавили три», 2+3.

В условии задачи 21 содержатся два числовых данных и фигурирует слово подарили, т. е. “дали возможно, учащимся покажется, что в наборном полотне в разных кармашках нужно поместить два множества З кружка («марки») и 8 кружков. Однако легко показать, что в задаче рассматривается восьмиэлементное Множество и его подмножество, содержащее З элемента, В самом деле, 8 марок у

Сережи стало после того, как ему подарили З марки. Таким образом, иллюстрация

вид: в кармашек наборного полотна устанавливается 8 <марок и З из них Выделяются, например, цветом. Чтобы определить, сколько марок было у Сережи первоначально, нужно из кармашка удалить З «марки». Эта операция, как уже известно учащимся, на математическом языке называется: <от 8 отняли З» или «из Восьми вычли три» и описывается 8—З.

Аналогичным образом математизируется содержание задач 22 и 23.

Решая задачи, подобные задачам 20—23, учащиеся могут иллюстрировать их содержание самостоятельно с помощью индивидуального разрезного материала.

Накопив опыт решения задач, ученики смогут обходиться и без наглядности. Пусть, например, предложена задача: «На уборке урожая работало 4 колесных и несколько гусеничных тракторов. Всего на уборке было занято 7 тракторов. Сколько из них было гусеничных?» Решая ее, школьники могут рассуждать примерно так: «Всего работало 7 тракторов, из них 4 колесных. Значит, гусеничных было меньше семи, поэтому от 7 нужно отнять 4». Вместе с тем предметные иллюстрации не теряют полностью своего значения даже тогда, когда учащиеся накопили значительный опыт решения задач данного типа. Иногда ученик, подчас совершенно неожиданно для учителя, не может решить задачу хорошо изученного типа. Конечно, учитель может предложить «сильному» ученику рассказать, как эта задача решается. Однако гораздо полезнее побудить ученика, не решившего задачу, проиллюстрировать ее содержание. Работа с иллюстрацией, очевидно, самый естественный и надежный путь к осознанию учащимися, почему данная задача решается сложением или вычитанием. Кроме того, по работе ученика с наглядностью учитель может проследить за его рассуждениями, которые он далеко не всегда может выразить словами. Таким образом, иллюстрации, выполняемые учащимися, играют роль обратной связи (ученик — учитель).

Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц. Обучение учащихся решению задач данного типа может показаться на первый взгляд очень простым делом. Пусть, например, ученикам предлагается задача нового типа: «У Сережи З карандаша, а у Наташи на 2 карандаша больше. Сколько карандашей у Наташи?» Практика показывает, что многие школьники без всякой помощи со стороны учителя в состоянии получить правильное решение: 3+2. И это не удивительно. На протяжении длительного времени учащиеся решали задачи, раскрывающие смысл операции сложения. Поиск решения сводился к следующему: в условии задачи выделялись два числовых данных и опорное слово, которое обусловливало выбор арифметического действия. Данная задача как будто дает учащимся возможность использовать этот опыт — в условии даны два числа, есть опорное слово больше», которое «подсказывает», что нужно выполнить действие сложения. Однако такой механический перенос умений на новый тип задач не должен, конечно, удовлетворять учителя. Правильное решение еще не свидетельствует о том, что ученик понимает, почему данная задача решается именно так, а не иначе.

Например, нескольким ученикам, правильно решающим рассмотренную выше задачу, было предложено проиллюстрировать ее решение на наборном полотне с помощью кружков. Красными кружками обозначались карандаши Сережи, а синими

карандаши Наташи. Учащиеся установили в кармашек З красных кружка, а затем 2 синих. Полученное множество кружков отождествлялось с множеством карандашей Наташи. У школьников спрашивали: если 5 кружков — это карандаши Наташи, то почему среди них есть красные кружки — карандаши Сережи? Этот вопрос ставил школьников в тупик Подробно рассмотрим идею решения задачи о карандашах. Пусть множество А состоит из Сережиных карандашей, а множество В содержит только два Наташиных карандаша. Понятно, что объединение этих множеств не является Наташиными карандашами. На предматематическом уровне решение задачи состоит в объединении множества В с некоторым множеством С, содержащим остальные карандаши Наташи (рис. 53). Численность С в условии задачи не указана. Ее можно найти, используя предматематическое определение отношения «больше» («меньше»), с которым учащиеся знакомились в дочисловой период: множество М содержит больше элементов, чем множество А (Или А содержит меньше элементов, чем М), если при укладывании элементов из М и А парами окажется, что у каждого элемента из А есть пара, а у некоторых элементов из

больше, чем у Сережи. Значит,

карандаши из А и С можно уложить парами, а у карандашей из

множества В пары нет. Поэтому А -- С, т. е. С содержит З элемента. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно посчитать, сколько карандашей в множестве С [.. В, или, если говорить на языке арифметики, найти сумму

З + 2

Итак, хотя арифметически задачи на увеличение числа на несколько единиц решаются так же, как и задачи, раскрывающие смысл операции сложения, на предматематическом уровне их решения существенно различаются. Задачи на увеличение числа решаются фактически в два действия: 1) определяется численность множества, о котором непосредственно в условии задачи не говорится; 2) выполняется операция объединения двух множеств.

Совершенно аналогично можно раскрыть предматематический смысл решения задач на уменьшение числа на несколько единиц. Пусть, например, нужно решить задачу: «У Сережи 5 карандашей, а у Наташи на З карандаша меньше. Сколько карандашей у Наташи?» В условии задана численность двух множеств. Множество А содержит 5 элементов — это карандаши Сережи, множество В содержит З элемента. Понятно, что множество В — это и не Сережины и не Наташины карандаши Чтобы определить его смысл, нужно снова воспользоваться определением отношения «меньше» (рис. 54). Оказывается, что в задаче подразумевается еще одно множество — С. Из рис. 54 видно, что это карандаши Наташи в случае, если бы у нее их было столько же, сколько у Сережи. Таким образом, численность С равна 5. А В — это подмножество С, которое нужно удалить в соответствии с условием задачи Мчот и Наташи

НЫХ карандашей. На языке арифметики решение данной задачи описывается выражением 5—3.

Осознание учителем рассмотренных особенностей задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц позволяет ему выработать эффективную стратегию обучения учащихся их решению.

Основой обучения решению задач данного типа является определение понятия больше» («меньше>, «равно»), которое формировалось у учащихся на первых уроках математики. Поэтому полезны будут задания практического характера, позволяющие организовать работу учащихся с индивидуальными средствами наглядности.

1. Возьмите 7 красных и 5 синих кружков. Разложите их на парте парами так, чтобы под кружком одного цвета лежал кружок другого цвета.

Результаты работы обсуждаются. Кружки какого цвета остались без пары? Красные. Вспомним, что это означает. Что красных кружков больше, чем синих. Мы доказали, что 7 больше 5.

Какого цвета кружков не хватает, чтобы все кружки лежали парами? Синих. Вспомним, что это означает? Синих кружков меньше, чем красных. Мы доказали, что 5 меньше 7.

Сколько красных кружков осталось без пары? Это означает, что красных кружков на 2 больше, чем синих, или 7 на 2 больше, чем 5.

Сколько нужно добавить синих кружков, чтобы все кружки лежали парами? Два. Это означает, что синих кружков на 2 меньше, чем красных, или 5 на 2 меньше, чем 7.

2. Положите на парте б красных кружков. Под каждым из них положите по синему кружку. Сколько синих кружков?

Положите еще столько синих кружков, чтобы их было на 2 (на З, на 1) больше, чем красных.

Сколько теперь красных кружков нужно положить, чтобы их стало столько же, сколько синих?

Уберите столько синих кружков, чтобы их стало на 2 (на З, на 1) меньше, чем красных. И так далее.

Результаты работы над этими заданиями ученики могут записывать в тетрадях с помощью числовых выражений.

З. Цоложите на парте 5 красных кружков. Положите столько же синих кружков; положите на 2 синих кружка больше (меньше), чем красных, и т. д.

Выполнение заданий сопровождается соответствующими записями в После такой подготовительной работы (она может быть выполнена в большем или меньшем объеме) можно приступать к обучению решению задач нового типа.

Пусть в качестве исходной будет рассмотрена задача: «Возле школы пионеры посадили З клена, а лип на 2 больше. Сколько лип посадили пионеры?»

Для того чтобы показать учащимся отличие задачи нового типа от задач, раскрывающих смысл операции сложения, возможно, имеет смысл одновременно рассмотреть и такую задачу: «Возле школы пионеры посадили З клена и 2 липы. Сколько всего деревьев посадили пионеры?» Учитель кратко записывает условие обеих задач:

Обсуждаются сходство и различие условий и требований этих задач.

Для задачи нового типа учитель выполняет иллюстрацию, например, на наборном полотне (рис. 55). Одновременно учащиеся могут работать с индивидуальным наглядным материалом. Этот процесс комментируется. Так, в частности, отмечается, что поскольку

количество лип неизвестно, то в

соответствующий кармашек устанавливается полоска. «За ней, говорит учитель,—— находятся кружки, изображающие липы. В тот же

кармашек помещаются два кружка, ведь лип было на две больше, чем кленов. Сколько же кружков за полоской? Столько же, сколько кленов». Итак, количество лип в наборном полотне изображается тремя. и двумя кружками. Проделанная практическая работа описывается числовым выражением: З + 2.

Следующую задачу ученики могут проиллюстрировать самостоятельно, не прибегая к полоске. Используется уже известный прием:

если множество А содержит а кружков, а множество В— на Ь кружков больше, то в один кармашек укладывается а кружков, а в другой столько же и еще Ь.

Таким образом, отношение «больше на» сначала переводится на язык множеств — «столько же и еще», а потом на язык числовых выражений — записывается в виде суммы.

Методика обучения учащихся решению задач на уменьшение числа на несколько единиц аналогична рассмотренной. Отношение меньше на» с помощью иллюстраций истолковывается на языке множеств как «столько же, но без...». Пусть, например, рассматривается задача: «Пионеры посадили возле школы 5 лип, а кленов на З меньше. Сколько кленов посадили пионеры?» На наборном полотне описанная в задаче ситуация моделируется так: кленов столько же, сколько лип, но без трех, т. е. удаляется часть множества. Такой операции, как хорошо известно учащимся, соответствует арифметическая операция вычитания.

При обучении решению задач данного типа также большое значение имеет упражнение учащихся в составлении задач по данным выражениям.

Задачи на сравнение численности двух множеств с помощью вычитания (задачи на разностное сравнение). Выше была описана система подготовительных упражнений для задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц. Эти упражнения закладывают основу и для задач данного типа. Вместе с тем у задач на разностное сравнение есть и особенности.

Рассмотрим две задачи: «Помогая колхозу, школьники пропололи 5 грядок свеклы и 4 грядки моркови. Сколько грядок пропололи школьники?»; «Помогая колхозу, школьники пропололи 5 грядок свеклы и 4 грядки моркови. На сколько больше было прополото грядок свеклы, чем моркови?» Эти задачи относятся к разным типам. Первая - на раскрытие смысла сложения, вторая -- на разностное сравнение. Однако условия у этих задач одинаковы, различаются только требования. Задачи первого типа учащимся хорошо известны. Поэтому можно предположить, что некоторые ученики, поверхностно ознакомившись с текстом задачи на разностное сравнение, могут решить ее так же, как раньше решали задачи, раскрывающие смысл сложения. Поэтому, вероятно, полезно рассмотреть кратко записанные формулировки задач обоих типов одновременно, сравнить их, выявить сходство и различие:

Свекла —- 5 гр. Свекла — 5 гр.

Морковь — 4 гр. Всего ? гр. Морковь — 4 гр.

На сколько свеклы больше?

Возможно также, что некоторые учащиеся истолкуют слова «на... больше» в том смысле, который вкладывался в них в задачах на увеличение числа на несколько единиц, т. е. попытаются решить задачу нового типа сложением. Чтобы обосновать выбор действия для решения задачи на разностное сравнение, ее сначала нужно решить на предматематическом уровне.

На наборном полотне иллюстрируется условие задачи (рис. 56).

Чтобы ответить на вопрос задачи, из кармашков попарно удаляются

«грядки» свеклы и моркови. Таким образом, из множества, содержащего 5 элементов («грядок» свеклы), удалено подмножество, со

держащее 4 элемента (столько

«грядок» свеклы, сколько было

«грядок» моркови). Это, как хорошо известно учащимся, описывается операцией вычитания: 5 — 4.

Итак, получен ответ: грядок со свеклой на одну больше, чем грядок с морковью.

Разностное сравнение, в которых требуется найти «на сколько... меньше?»

для закрепления умения решать задачи данного типа большое значение имеют упражнения на составление текстовых задач по кратко записанному условию, чертежу, иллюстрации, числовому выражению.

Задачи, раскрывающие смысл понятия умножения. Методика введения понятия умножения достаточно подробно описана в § 15, посвященном изучению концентра «Сотня». Ограничимся несколькими замечаниями общего характера.

Умножение в начальной школе определяется через сложение. Произведение а• Ь рассматривается как сумма, состоящая из Ь слагаемых, каждое из которых равно а. Поэтому умножение можно рассматривать на более высоком уровне абстракции, чем сложение и вычитание. действительно, понятия сложения и вычитания формировались у учащихся следующим образом: сначала рассматривались определенные, интуитивно ясные операции над множествами предметов различной природы; эти операции описывались на математическом языке суммой или разностью; в результате многократного выполнения всех этих действий школьники убеждались, что смысл математических выражений не зависит от свойств предметов, составляющих множества. для определения умножения совсем не обязательно обращаться к предметным множествам. Можно рассмотреть понятие суммы (абстрактное понятие) и, отвлекаясь от конкретных значений слагаемых, прийти к абстракции более высокого порядка — понятию произведения. Схематически это можно изобразить так:

Учителю такая идея введения умножения может показаться соблазнительной: не нужно тратить время на работу с иллюстрациями, наглядностью. Учитель может просто взять какую-либо задачу, например: «Купили З коробки карандашей. В каждой коробке было по 5 карандашей. Сколько всего карандашей купили?» По ней учащиеся в состоянии самостоятельно составить выражение известного им вида: 5+5+5. Затем учитель объявляет, что сумму, в которой слагаемые одинаковы, можно записать иначе: 5. 3. Одновременно ученикам сообщается соответствующая терминология — «умножение», «произведение», «множитель», демонстрируется знак умножения. Остается только закрепить новые сведения в процессе их многократного использования при решении задач.

Однако описанный подход выглядит привлекательно только на первый взгляд. Формирование понятия произведения не самоцель. Оно используется в дальнейшем для изучения других, более сложных понятий — частного, отношений «больше в ... раз», «увеличить в ... раз» и других. Если у учащихся после изучения умножения останется только определение этой операции и сопутствующая терминология, то пользы от этих знаний в дальнейшем будет немного. Важно, чтобы учащиеся, усваивая понятие произведения, приобрели опыт работы с предметными множествами, который пригодится им в дальнейшем.

На рис. 57 отражено содержание предматематического решения задачи о карандашах, приведенной выше.

Задачи, раскрывающие смысл

операции деления, В § 15 обсуждалась проблема обучения учащих ся делению, Однако вопрос о том, как раскрыть учащимся смысл этой операции, остался открытым.

Операция деления для школьников является самой сложной.

Это объясняется следующими

причинами. Деление — операция,

обратная умножению, поэтому

было бы естественным определить ее через умножение. Так, например, делается в вузовском курсе математики: частным целых неотрицательных чисел а и Ь (а Ь, Ь О) называется такое целое неотрицательное число с, что а = Ьс. Для учащихся начальной школы такое определение неприемлемо. Действительно, трудно себе представить, как его можно было бы интерпретировать на предматематическом уровне — на языке множеств, например.

Отметим, что некоторые специалисты придерживаются на этот счет другого мнения. Например, в одном из учебников математики для III класса (А. С. Пчелко и др.; М., 1985) деление определяется следующим образом: Разделить 48 на 4 — значит, найти число, которое при умножении на 4 дает 48. Это число 12. Значит, 48:4= i2э.

Кроме того, определять деление через умножение методически нецелесообразно, поскольку умножение в отличие от сложения и вычитания для учащихся новая, мало изученная операция.

Таким образом, проблема введения понятия частного состоит в выборе предматематической интерпретации его смысла. Это должно позволить учащимся использовать хотя бы в некоторой степени знания и умения, сформированные при изучении действий первой ступени.

Житейские ситуации, описываемые выражением а: Ь, могут иметь двоякий смысл. Так, выражению $:4 могут соответствовать, например, такие текстовые задачи: На 4 тарелки разложили поровну 8 яблок сколько яблок оказалось на каждой тарелке?»; «Было

8 яблок. Их разложили по 4 в каждую тарелку. Сколько для этого потребовалось тарелок?» В первой задаче выражение 8:4 соответствует количеству яблок в тарелке, во второй задаче — количеству тарелок с яблоками. Очевидно, что эта особенность деления должна быть отражена на предматематическом уровне.

Рассмотрим один из возможных вариантов методики обучения учащихся решению задач, раскрывающих смысл операции деления.

Сначала выясним, что представляет собой деление некоторого числа на равные части с предматематической точки зрения. Предположим, что имеется некоторое множество предметов, например 12 кружков, и их необходимо разложить поровну в З кармашка наборного полотна. Спрашивается, сколько кружков окажется в каждом из этих кармашков? Практически эта задача решается следующим образом. В каждый из трех кармашков укладывается по одному кружку. Если в исходном множестве остались кружки, то в каждый кармашек укладывается еще по одному кружку, и так поступают до тех пор, пока не будут разложены все кружки. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, можно поступить двояко:

либо посчитать, сколько кружков оказалось в одном из кармашков, либо вспомнить, сколько раз выполнялась операция по раскладыванию кружков. В любом случае выполненное вручную деление на математическом языке можно описать с помощью разности: 12 —

— З — З — З З. Вычитаемые в этой разности показывают, сколько кружков попадало в наборное полотно в результате однократного выполнения операции раскладывания кружков. Число, соответствующее количеству вычитаемых, и есть ответ на вопрос задачи.

Совсем по-другому решается задача на деление по содержанию. Дано некоторое количество кружков, например 12. Нужно разложить их по З в какдый кармашек наборного полотна и определить, сколько для этого потребуется кармашков. Практическое решение этой задачи на языке математики также описывается разностью:

12 —3 — З — З З. Это выражение с точки зрения математики не отличается от рассмотре4ного выше, однако предматематический его смысл совершенно иной. Каждое вычитаемое соответствует количеству кружков, попадавших одновременно в один кармашек; количество вычитаемых соответствует количеству заполненных кармашков.

Рассмотренная интерпретация операции деления позволяет использовать для разъяснения смысла деления хорошо известную учащимся операцию вычитания. Она дает возможность также раз- граничить деление на равные чапользовать для разъяснения смысла деления хорошо известную учащимся операцию вычитания. Она дает возможность также раз- граничить деление на равные части и деление по содержанию.

Обратимся теперь собственно к методике обучения учащихся решению задач нового для них типа.