Пятичленное уравнение кривой второго порядка

Вернемся к общему уравнению кривой второго порядка (1). Предположим для начала, что коэффициент уравнения B равен нулю, т.е. в уравнении отсутствует смешанное произведение x и y. Итак, уравнение является пятичленным:

,

(11)

Рассмотрим следующие случаи уравнения (11):

1. Пусть ; тогда уравнение определяет эллипс (действительный, мнимый или выродившийся в точку). Если , то получим окружность.

2. Пусть ; тогда мы имеем дело с гиперболой, вырожденный случай которой представляет собой пару пересекающихся прямых (если левая часть уравнения может быть представлена в виде произведения двух линейных сомножителей).

3. Пусть , но ; тогда уравнение описывает параболу, которая может вырождаться в пару пересекающихся прямых, если левая часть уравнения не содержит одной из двух переменных x или y.

Для установления вида кривой и ее расположения необходимо привести уравнение к каноническому виду, первоначально выделив полные квадраты по переменным и .

.

Обозначим , , . Получим

,

(12)

Остается только перенести в правую сторону равенства (12) и, разделив обе части на , получить каноническое уравнение кривой в новой декартовой системе координат, полученной из старой параллельным переносом начала координат в точку .