Точечные оценки неизвестных параметров

2.2.3. Показать, что справедлива формула:

,

где – четвертый центральный момент случайной величины . Являются ли выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия состоятельными оценками наблюдаемой случайной величины ?

2.2.4. Показать, что эмпирическая функция распределения является несмещенной и состоятельной оценкой теоретической функции распределения .

2.2.5. Вычислить информацию Фишера о параметре , содержащуюся в одном наблюдении над случайной величиной Х, имеющей:

а) нормальное распределение ;

б) нормальное распределение ;

в) нормальное распределение ;

г) гамма-распределение ;

д) распределение Коши ;

е) биномиальное распределение ;

ж) распределение Пуассона .

2.2.6. Доказать, что выборочное среднее является эффективной оценкой математического ожидания наблюдаемой случайной величины Х, имеющей распределение: а) ; б) .

2.2.7. Доказать, что статистика является несмещенной и эффективной оценкой дисперсии наблюдаемой случайной величины , имеющей нормальное распределение .

2.2.8. Показать, что исправленная выборочная дисперсия является асимптотически эффективной оценкой дисперсии наблюдаемой случайной величины , имеющей нормальное распределение .

2.2.9. Пусть наблюдаемая случайная величина имеет распределение Коши . Показать, что выборочное среднее не является состоятельной оценкой параметра .

2.2.10. Показать, что в случае логистического распределения, плотность вероятностей которого при имеет вид:

,

справедливы утверждения:

а) выборочное среднее – несмещенная оценка и ;

б) информация Фишера и поэтому не является эффективной оценкой .

2.2.11. Пусть по выборке из генеральной совокупности, имеющей биномиальное распределение , требуется оценить функцию . Показать, что в данном случае несмещенных оценок не существует.

2.2.12. Пусть по одному наблюдению над случайной величиной , имеющей отрицательное биномиальное распределение , требуется оценить параметр . Найти оценку, удовлетворяющую условию несмещенности, и показать, что она практически бесполезна.

2.2.13. Пусть производится одно наблюдение над случайной величиной , имеющей распределение Пуассона с неизвестным параметром :

.

Показать, что в этом случае не существует несмещенных оценок параметрической функции .

2.2.14. Случайная величина имеет распределение Пуассона с неизвестным параметром . По выборке найти точечные оценки параметра по методу моментов, используя первый и второй моменты. Исследовать полученные оценки на несмещенность.

2.2.15. Случайная величина (число нестандартных изделий в партии изделий) имеет распределение Пуассона с неизвестным параметром .

Найти методом моментов оценку параметра , если обследование партий на наличие нестандартных изделий дало следующие результаты:

где число нестандартных изделий в одной партии; - число партий, содержащих нестандартных изделий.

2.2.16. По выборке из генеральной совокупности, имеющей биномиальное распределение , т.е.

, найти оценку неизвестной вероятности успеха по методу моментов, используя первый момент.

2.2.17. Случайная величина (число появлений события в m независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром . Ниже приведены результаты числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний в каждом:

где - число появлений события в одном опыте; - количество опытов, в которых наблюдалось появлений события . Найти методом моментов оценку параметра по этим статистическим данным.

2.2.18. Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с неизвестным параметром , т.е. где – число испытаний, произведенных до появления события; - вероятность появления события в одном испытании. По выборке найти методом моментов оценку параметра .

2.2.19. Найти методом моментов оценку параметра геометрического распределения , если в четырех опытах событие появилось соответственно после двух, четырех, шести и восьми испытаний.

2.2.20. По выборке найти методом моментов оценку неизвестного параметра показательного распределения , плотность вероятностей которого . Исследовать полученную оценку на несмещенность.

2.2.21. Найти методом моментов по выборке точечные оценки неизвестных параметров и гамма-распределения , плотность вероятностей которого

.

2.2.22. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке с неизвестными границами. По выборке найти методом моментов оценки параметров и .

2.2.23. По выборке из генеральной совокупности, имеющей биномиальное распределение , найти оценку максимального правдоподобия неизвестной вероятности успеха . Сравнить ее с оценкой, полученной по методу моментов (см. задачу 2.2.16).

2.2.24. Случайная величина имеет распределение Пуассона с неизвестным параметром . По выборке найти оценку максимального правдоподобия параметра и исследовать ее на несмещенность.

2.2.25. По выборке найти оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра показательного распределения . Сравнить ее с оценкой, полученной по методу моментов (см. задачу 2.2.20).

2.2.26. Случайная величина (время безотказной работы элемента) имеет показательный закон распределения с неизвестным параметром . В результате проверки 1000 элементов были получены следующие значения среднего времени их работы:

Здесь – среднее время безотказной работы одного элемента, часов; - количество элементов, проработавших в среднем часов. Найти на основании этих данных оценку параметра по методу максимального правдоподобия.

2.2.27. По выборке из генеральной совокупности, имеющей гамма-распределение с плотностью вероятностей

, найти оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра . Сравнить ее с оценкой, полученной по методу моментов (см. задачу 2.2.21).

2.2.28. Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению . Испытания пяти элементов дали следующие результаты (время работы элемента в часах до отказа): (50, 60, 100, 200, 250). Найти по этим выборочным значениям оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра .

2.2.29. Случайная величина , характеризующая срок службы элементов электронной аппаратуры, имеет плотность вероятностей (закон распределения Релея). По выборке построить оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра . Исследовать ее на несмещенность и сравнить с оценкой, которую дает метод моментов.

2.2.30. По выборке найти оценки максимального правдоподобия неизвестных параметров распределений: а) ; б) ; в) . Проанализировать качество полученных оценок.

2.2.31. Наблюдаемая случайная величина имеет геометрическое распределение с неизвестным параметром . По выборке построить оценку максимального правдоподобия неизвестной вероятности и сравнить ее с оценкой, полученной по методу моментов (см. задачу 2.2.18).

2.2.32. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке . По выборке построить оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра .

2.2.33. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке единичной длины . По выборке построить оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра .

2.2.34. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке . По выборке построить оценки максимального правдоподобия неизвестных концов отрезка и .