Практичне заняття №14-15. Комбінаторний аналіз

1. Студент повинен виконати практичну роботу з математики. Йому запропонували на вибір 17 тем з алгебри і 13 тем з геометрії. Скількома способами він може вибрати одну тему для практичної роботи.

2. Є 5 білетів грошової лотереї, 6 білетів спорт лото і 10 білетів авто лотереї. Скількома способами можна вибрати один білет з спорт лото або авто лотереї.

3. 12 різних книг можна оформити в червоний, зелений і коричневий. Скількома способами можна це зробити?

4. Скільки існує п’ятизначних чисел, які однаково читаються зліва направо і справа наліво?

5. Скількома способами на першості світу з футболу можуть розподілитися медалі, якщо у фінальній частині грають 24 команди?

6. Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 0,1,2,3,4,5, якщо:

а) цифри можуть повторюватися;

б) ні одна з цифр не повторюється двічі;

в) цифри непарні і можуть повторюватись.

7. Скільки можна скласти телефонних номерів з 6 цифр так, щоб всі цифри були різні?

8. Скількома способами 4 юнака можуть запросити чотирьох з шести дівчат на танець?

9. При грі в кості кидаються дві кості і на верхніх гранях очки додаються. Яка ймовірність викинути 12 очок?

10. Скільки існує різних варіантів зайняти перше, друге та третє місце спортсменами, якщо в змаганнях приймає участь учасників?

11. Студенту необхідно скласти три екзамени протягом семи днів. Скількома способами можна це зробити?

12. Скількома різними способами можна розмістити п’ять студентів в аудиторії, яка має 20 місць?

13. Скільки різних шестизначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо цифри в числі не повторюються?

14. Скількома різними способами можна розмістити п’ять книжок на книжковій полиці?

15. Скільки трьохкнопочних комбінацій існує на кодовому замку (всі три кнопки натискаються одночасно), якщо на ньому всього 10 цифр?

16. У однієї людини 7 книг по математиці, а у другого – 9. Скількома способами вони можуть обміняти один в одного дві книги на дві книги?

17. Збірна команда університету з волейболу налічує 15 чоловік. Скільки різних варіантів повинен розглянути тренер, щоб заявити список гравців на гру?

18. У скількох точках перетинаються діагоналі випуклого десятикутника, якщо ніякі три з них не перетинаються в одній точці?

19. Скільки трьохзначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5?

20. В кондитерському магазині продаються 4 види тістечок. Скількома способами можна купити 7 тістечок?

21. Скількома способами можна розсадити нових гостей серед гостей, які вже сидять за столом?

22. Скільки різних слів можна скласти в алфавіті з восьми символів?

23. Скількома способами можна переставити літери слова „ананас”?

24. Скільки слів довжиною 8 можна скласти з букв а і б, таких, що кількість букв а в цих словах не перевищує три?

25. Скільки перестановок можна зробити з літер слова „Міссісіпі”?

26. Є п’ять різних стільців і сім рулонів тканини для перетягування меблів різних кольорів. Скількома способами можна зробити перетяжку меблів?

27. На сувеніри в „Полі чудес” спонсори пропонують кавоварки, праски, телефони та духи. Скількома способами 9 учасників гри можуть отримати ці сувеніри? Скількома способами можуть бути вибрані 9 предметів для учасників гри?

28. Скільки може бути випадків вибору 2 олівців і 3 ручок з 5 різних олівців і 6 різних ручок?

29. Скільки способів роздачі карт на 4 особи існує в грі „Вірю-не вірю” (карти роздаються повністю, 36 карт)?

30. На протязі 30 днів вересня було 12 дощових днів, 8 вітряних, 4 холодних, 5 дощових і вітряних, 3 дощових і холодних, а один день був і дощовим, і вітряним, і холодним. На протязі скількох днів у вересні була гарна погода?

31. Серед 100 студентів 50 вивчають хімію, 53 – математику, 42 – фізику, 15 – хімію і фізику, 20 – фізику і математику, 25 – математику і хімію, 5 студентів вивчають всі три предмета.

a) Скільки студентів вивчають хоча б один з трьох предметів?

b) Скільки студентів не вивчають жоден з трьох предметів?

c) Скільки студентів вивчають лише математику?

d) Скільки студентів вивчають фізику або хімію, але не вивчають математику?

e) Скільки студентів не вивчають ні математику, ні хімію?

32. Серед 250 телеглядачів 95 дивляться новини, 125 – спорт, 125 – комедії, 25 – новини і комедії, 45 – спорт і комедії, 35 – новини і спорт, 5 – дивляться всі три передачі.

a) Скільки телеглядачів дивляться новини, але не дивляться спорт?

b) Скільки телеглядачів дивляться новини або спорт, але не дивляться комедії?

c) Скільки телеглядачів не дивляться ні новини, ні спорт?

d) Скільки телеглядачів дивляться не тільки спорт?

e) Скільки телеглядачів дивляться спорт і комедії, але не дивляться новини?

33. На фермі є 20 овець і 24 свині. Скількома способами можна вибрати одну вівцю і одну свиню? Якщо такий вибір вже зроблено, скількома способами можна зробити його ще раз?

34. Скількома способами можна вибрати голосну і приголосну літеру зі слова „приміщення”?

35. Скільки існує парних п’ятизначних чисел, які розпочинаються непарною цифрою?

36. Скількома способами можна розсадити шістьох осіб за круглим столом?

37. Скількома способами можна поставити на полицю 10 книжок:

а) Якщо серед них є один тритомник, усі томи якого мають стояти поруч у довільному порядку;

б) Усі томи тритомника мають стояти поруч за зростанням номерів томів?

38. Скільки учасників у шаховому турнірі, якщо відомо, що кожний учасник зіграв із кожним з решти, а всього було 210 партій?

39. Скількома способами з колоди 52 карт можна вийняти 10 карт, щоб серед них були такі:

а) Точно один туз;

б) Принаймні один туз;

в) Не менше двох тузів.

40. Скількома способам можна вибрати пару однакових карт з колоди 36 карт?

41. Скількома способами можна поселити дев’ять студентів у три кімнати гуртожитку, поселяючи їх по троє в кожній?

42. Скільки різних рядків із шести букв можна утворити з алфавіту, який має 26 букв, якщо повторення дозволені?

43. Множина містить 100 елементів. Знайти кількість підмножин цієї множини, що містять більше одного елемента?

44. Довести методом математичної індукції:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) ;

i) .

45. Методом математичної індукції довести подільність.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) ;

i) .

46. Знайти для таких рекурсивних функцій:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

47. Знайти для таких рекурсивних функцій:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

48. Розв’язати рекурентні рівняння із заданими початковими умовами:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) .

49. Дано неоднорідне рекурентне рівняння . Показати, що – його розв’язок. Знайти загальний розв’язок цього рекурентного рівняння. Знайти розв’язок за початкової умови .

50. Дано неоднорідне рекурентне рівняння . Визначити такі константи і , що – його розв’язок. Знайти загальний розв’язок цього рекурентного рівняння та розв’язок за початкової умови .