Ответы и решения

1.Очевидно, в момент опрокидывания стержня сила реакции опоры сосредоточена вблизи края стола. Поэтому из условия равенства нулю суммы моментов внешней силы и силы тяжести относительно края стола имеем

(здесь учтено, что точкой приложения силы тяжести является центр стержня, поэтому плечо силы тяжести относительно края стола равно ). Отсюда находим

Н;

2. Из условия равновесия поршня заключаем, что давление газа в начальном состоянии вдвое больше давления газа в конечном. Поэтому из закона Клапейрона-Менделеева для начального и конечного состояний газа имеем

(1)

где и - объем газа в начальном и конечном состояниях. Деля уравнения (1) друг на друга, находим

3.Сила натяжения средней нити компенсирует суммарную кулоновскую силу отталкивания, действующую на два правых (или два левых) заряда со стороны двух левых (или правых) зарядов. Используя принцип суперпозиции и закон Кулона, получим

где - постоянная в законе Кулона (остальные обозначения очевидны). Приводя подобные члены, находим

4. Если бы спица была расположена вертикально, колечко имело бы максимальное ускорение , однако путь, пройденный колечком до плоскости был бы больше, чем путь, пройденный колечком по спице, наклоненной вправо. Поэтому при каком-то расположении спицы (см. рисунок) время движения колечка до плоскости будет минимально. Найдем это положение.

Пусть угол наклона спицы к перпендикуляру, опущенному на плоскость равен (см. рисунок). Тогда, очевидно, угол наклона спицы к горизонту равен . Следовательно, ускорение колечка есть

(1)

а пройденный им путь (который равен длине спицы) –

(2)

Поэтому из закона равноускоренного движения имеем для времени движения колечка до плоскости

(3)

Из формулы (3) заключаем, что время движения (3) как функция угла минимально, если максимален , или

(4)

Отсюда для длины спицы получаем

Используя далее известную тригонометрическую формулу

,

находим

.

5. Найдем индукцию магнитного поля, созданного кольцом радиуса в области второго кольца, а затем по закону Ампера найдем силу взаимодействия колец.

Индукция магнитного поля кольца на его оси направлена вдоль оси, а в точках, расположенных на некотором расстоянии от оси (т.е. в области второго кольца) под некоторым углом к оси (см. рисунок). Используя далее, закон взаимодействия магнитного поля и тока (закон Ампера), заключаем, что суммарная сила Ампера, действующая на кольцо радиуса со стороны магнитного поля второго кольца, направлена вдоль оси колец и определяется составляющей вектора , направленной перпендикулярно оси

(1)

где - составляющая вектора индукции, перпендикулярная оси кольца. Найдем .

Используем известное выражение для индукции магнитного поля кольца на его оси на расстоянии от его плоскости

(2)

где - ток в кольце, - его радиус. Рассмотрим вспомогательную цилиндрическую поверхность соосную оси кольца, с радиусом, равным радиусу второго кольца , и малой высотой (см. рисунок). Т.к. величина индукции на оси кольца уменьшается с ростом расстояния от кольца, то поток вектора магнитной индукции через верхнее основание цилиндрической поверхности меньше потока через нижнее. А поскольку поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю (отсутствуют магнитные заряды), то разница потоков через основания

(3)

( - площадь оснований цилиндра) равна потоку вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра

(4)

где - площадь его боковой поверхности. Из формул (3), (4) находим

(5)

Т.к. мало, то выражение (5) сводится к производной величины индукции по . Дифференцируя функцию (2), находим по формулам (5), (1) в пределе

.