Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

Рассмотрим решение неравенств вида

При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, следует помнить, что

При этом область определения неравенства следует разбить на интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. Раскрывая модули (с учётом знаков выражений), нужно решить неравенство на каждом интервале и полученные решения объединить в множество решений исходного неравенства.

Теорема 9. Если выражения и при любых принимают только отрицательные значения, то неравенства .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. 1 способ. Выражение можно рассматривать как расстояние на числовой оси между точками и . Следовательно,, нужно указать на числовой оси все точки , которые удалены от точки меньше, чем на единицы.

Очевидно, что множество решений неравенства есть интервал .

2-й способ. Возведя обе части данного неравенства в квадрат, получим равносильное неравенство , решая которое, получим .

Откуда находим, что .

3-й способ. По определению модуля имеем:

Следовательно, исходное неравенство можно записать совокупностью двух систем неравенств: откуда

Объединив решения совокупности, имеем: .

Ответ. .

Пример. Решим неравенство .

Решение.Согласно геометрической интерпретации модуля необходимо найти точки, сумма расстояний от которых до точек и равна . Это все точки отрезка . Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.

Ответ. .

Теорема 10. Пусть даны неравенства вида . При любом действительном значении a неравенство равносильно системе неравенств неравенство равносильно совокупности неравенств

Доказательство. На основании определения модуля докажем, чтопри любом значении a неравенство равносильно системе неравенств неравенство равносильно совокупности неравенств

Пусть .

При неравенство равносильно неравенству .

Решим его методом интервалов:

Решением неравенства является интервал .

Решим систему неравенств

Решением системы неравенств является интервал .

Итак, при неравенство и система имеют одни и те же решения, то есть равносильны.

При и неравенство , и система не имеет решений.

Таким образом, при любом значении неравенство и система имеют одни и те же решения, то есть равносильны.

Пусть .

При неравенство равносильно неравенству .

Решим его методом интервалов:

Решением неравенства является интервал .

Решим совокупность неравенств

Решением совокупности неравенств является интервал .

При и неравенство , и совокупности неравенств являются все действительные числа, кроме .

При и неравенство , и совокупность неравенств являются все действительные числа.

Таким образом, при любом значении неравенство и совокупность неравенств имеют одни и те же решения, то есть равносильны. Теорема доказана.

Теорема 22 позволяет перейти к неравенствам, не содержащим модуль.

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Рассмотрим решение, основанное на доказанной теореме, согласно которой последнее неравенство равносильно системе неравенств:

Решение системы представлено на рисунке 26

Рис. 26

Ответ. .

Пример. Решим неравенство .

Решение. Пользуясь доказанной равносильностью, перейдем к совокупности неравенств: (В последней совокупности)

Система и неравенство 0 не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является числовой луч

Ответ.

Основные методы решения неравенств, содержащих знак модуля, состоят в следующем.

Неравенства вида решают следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то .

Если , то неравенству равносильна система

Неравенства вида решают следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству равносильна система

Неравенства вида решают следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых из области определения .

Если , то неравенство верно для любых из области определения. .

Если , то неравенству равносильна совокупность

Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых из области определения .

Если , то неравенству равносильна система

Неравенства вида решают следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству равносильна система

Неравенства вида решают следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству соответствует уравнение .

Если , то неравенству равносильна система

Неравенства вида решают следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых значений из области определения неравенства .

Если , то неравенству равносильна система

Если , то неравенству равносильна совокупность

Неравенства вида решают следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых значений из области определения неравенства .

Если , то равносильна совокупность

Неравенства вида ирешают следующим образом.

Неравенству соответствует неравенство .

Рассмотрим примеры решения неравенств, содержащих знак модуля.

Пример. Решим неравенство:

Решение.

Объединяя результаты, получим .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. .

Ответ.

Пример. Решим неравенство: .

Решение.

Ответ. .

При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, также как и при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяется метод интервалов. Рассмотрим пример.

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль:

Разобьем числовую ось на интервалы и установим знак выражения на каждом интервале:

Раскроем модуль и решим совокупность систем неравенств равносильную данному неравенству:

Решение первой системы: .

Решение второй системы: .

Решение данного неравенства: .

Ответ.

Пример. Решим неравенство:

Решение. Точки делят числовую ось (область определения неравенства) на интервалы: .

Решим данное неравенство на каждом из данных интервалов.

Если , то и . Поэтому , . Следовательно,, исходное неравенство примет вид: , то есть . В этом случае решениями исходного неравенства являются все отрицательные числа.

Если , то и ;

Объединяя найденные решения на всех частях области определения исходного неравенства, получаем его решение: .

Ответ.

Пример. Решим неравенство: .

Решение.

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение.Относительно любого модуля данное неравенство имеет вид . Перебрав все комбинации знаков подмодульных выражений, имеем:

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение.Решим неравенство, используя координатную прямую. Данное неравенство выполняется для всех точек c координатой , которые находятся ближе к точке с координатой , чем к точке с координатой . Так как , то искомыми являются все точки, расположенные левее точки с координатой . Ответ. .

Пример. Решим систему неравенств

Решение.Предположим, что данная система неравенств имеет решение . Тогда, , то есть .

Аналогично получаем , , .

Перемножим все полученные неравенства. С одной стороны, произведение четырёх положительных чисел положительно. С другой стороны, это произведение равно

Приходим к противоречию.

Ответ. Система не имеет решений.

Пример. Решим неравенство графически:

На интеграле по определению модуля имеем | и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносильно линейному неравенству которое справедливо при Таким образом, в множество решений входит интервал На отрезке исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству Поэтому все значения переменной, принадлежащие данному отрезку, входят в множество решений неравенства.

На интервале получим линейное неравенство справедливое при Следовательно, интервал также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интервала и только они.

Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 28 построены графики функций:

Рис.28

На интервале график функции расположен ниже графика функции , это означает, что неравенство справедливо.

Ответ.

[1] Соболь Б. В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике [Текст] / Б. В. Соболь – Ростов на Дону: Феникс, 2003. – 352 с.

[2] Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. – 2002. – №15. – С. 13-14.

[3] Черкасов О. Ю. Математика [Текст]: справочник для старшеклассников и поступающих в вузы / О. Ю. Черкасов – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. – 576 с.

[4] Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. – 2002. – №15. – С. 13-14.

[5] Виленкин Н. Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин – М.: Просвещение, 1998. – 288 с.

[6] Шарова Л. И. Уравнения и неравенства [Текст]: пособие для подготовительных отделений / Л. И. Шарова – Киев: Вища школа, 1981. – 280 с.

[7] Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. – 2002. – №17. – С. 13-14.