Комплексные числа.

Введение.

Комплексные числа имеют три формы записи. Алгебраическая форма представляет число в виде ; здесь a и b – действительные числа, i – число иного рода, называемое мнимой единицей. Основное свойство числа i состоит в том, что его квадрат равен минус единице: . Числа вида являются действительными. Числа вида называются мнимыми.

Обозначим число буквой z . Число a называется действительной частью числа z, число b – мнимой частью числа z . Коротко это можно записать так: , , где Re и Im – принятые в математике обозначения действительной и мнимой части комплексного числа.

Рис. 1. Комплексная плоскость и ее оси.

Число z можно понимать как упорядоченную пару действительных чисел . Поэтому его можно изобразить точкой на плоскости. Действительная часть откладывается по оси абсцисс, а мнимая часть – по оси ординат (рис. 1).

Комплексное число чаще изображают не точкой, а вектором, начало которого совпадает с началом координат комплексной плоскости, а конец имеет декартовы координаты . Если такой вектор перенести параллельно самому себе, он также будет изображать то же самое число.

Точку на плоскости можно рассматривать и в полярных координатах , где r – расстояние от точки до начала координат, a – угол между отрезком, соединяющим точку с началом координат, и осью абсцисс (рис. 1).

Число r называется модулем числа z , число a называется аргументом (или фазой) числа z . Коротко это обозначается так: , .

Из рис. 1 видно, что

, , (1)

поэтому комплексное число z можно представить в виде

Такая форма представления комплексного числа называется тригонометрической.

Отметим, что . (2)

Формулы (1) определяют переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической, формулы (2) – от алгебраической к тригонометрической. При этом a лежит в пределах от –p до p и вычисляется с учетом знаков a и b :

Для числа аргумент не определен.

Формула Эйлера позволяет ввести показательную форму комплексного числа: . Модуль r и фаза a имеют тот же смысл, что и для тригонометрической формы комплексного числа.

Формулу Эйлера можно понимать как определение экспоненты с мнимым показателем: – это такое комплексное число, действительная часть которого равна , а мнимая равна . Более корректно функция определяется как сумма ряда

.

Учитывая, что и сгруппировав отдельно действительные и мнимые слагаемые этого ряда, получим ряды для косинуса и синуса, что и доказывает формулу Эйлера (строго говоря, такая перегруппировка слагаемых нуждается в обосновании, но мы законность этого действия примем без доказательства):

Для экспоненты с мнимым показателем, так же как и для экспоненты с действительным показателем, справедливо свойство: произведение двух экспонент равно экспоненте, показатель которой равен сумме показателей сомножителей:

.

Сложение комплексных чисел

Рис. 2. Сложение комплексных чисел на плоскости.

Суммой комплексных чисел и называется комплексное число .

То есть, действительная часть суммы – это сумма действительных частей слагаемых, а мнимая часть суммы – это сумма мнимых частей слагаемых.

Например, если , то .

На комплексной плоскости сложению комплексных чисел соответствует сложение векторов (рис. 2).

Сложение чисел в показательной и тригонометрической форме неудобно. Чтобы сделать это, нужно сначала перевести оба числа в алгебраическую форму, сложить их, а затем перевести результат в нужную форму.

Например,

 

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняется по тем же правилам, что и умножение действительных чисел. Единственное различие в том, что :

.

Например, .

Умножение комплексных чисел в показательной форме выполняется еще проще. Пусть , тогда

,

то есть, при умножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Например, ; .

С помощью формулы Эйлера из правила умножения комплексных чисел в показательной форме может быть получено правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. Оно такое же, как для чисел в показательной форме.

Замечание 1: Мнимая единица может записываться как перед действительным множителем, так и после него: и т.д. Эти выражения равны вследствие того что произведение любых двух комплексных чисел коммутативно, т.е не зависит от порядка сомножителей.

Замечание 2: Аргументы комплексных чисел могут выражаться как в радианах (то есть просто в числах), так и в градусах. Запись аргументов комплексных чисел в радианах, как правило, применяется в математике и физике; запись в градусах – в технических науках и инженерных расчетах.

Умножению комплексного числа z на число соответствует растяжение вектора, изображающего число z, в раз и поворот его на угол . Это следует из описанных выше правил умножения.

Деление комплексных чисел

Проще всего делить числа в показательной и тригонометрической форме. При этом модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Это правило прямо следует из правил умножения.

Пусть , , тогда .

Например, .

Чтобы разделить комплексное число в алгебраической форме на действительное число, нужно разделить отдельно действительную и мнимую часть. Пусть , тогда . Например: .

Деление комплексного числа в алгебраической форме на комплексное число в алгебраической форме сводят к делению комплексного числа на действительное. Это делают путем умножения числителя и знаменателя на число, комплексно сопряженное знаменателю.

Рис. 3. сопряженные комплексные числа.

Комплексно сопряженное число обозначается звездочкой или чертой наверху, например, . Комплексно сопряженные числа имеют одну и ту же действительную часть и противоположные мнимые части: . На комплексной плоскости комплексно сопряженные числа расположены симметрично относительно действительной оси (рис. 3). Произведение числа на его сопряженное равно квадрату его модуля, это всегда неотрицательное действительное число:

.

Итак, разделим два числа в алгебраической форме. Пусть

, .

Тогда .

Например, .