Решение

1. Вычерчиваем се­чение в удобном масштабе.

2. Делим сечение на прос­тые части: 1 - правый уголок, 2 - ле­вый уголок, 3 - швеллер, 4 - пла­стина.

3. Проводим на­чаль­ные оси Х₀, У₀ . Т.к. сечение имеет верти­кальную ось симмет­рии, то ось У₀ на­правляем по оси симметрии, ось Х₀ – по границе меж­ду швеллером и угол­ками.

4. Готовим таб­лицу для записи ре­зульта­тов рас­чета (табл. 22).

Так как сечение имеет вер­тикальную ось симмет­рии, то центр тяжести его будет на­хо­диться на этой оси. Одна из главных цен­тральных осей будет совпадать с осью симметрии, другая будет проходить че­рез центр тяжести перпенди­кулярно оси симметрии. В свя­зи с этим данные столбцов I_xy и а_i b_i F_i для расчетов не потребуются и эти столбцы можно исключить из таб­лицы.

Таблица 22

Часть	хс, см	ус, см	Fi, см2	Ix, см4	Iy, см4	аi, см	bi, см	, см4	, см4
	2,87	2,27	12,3	73,36	73,36	-1,17	2,87	16,8
	-2,87	2,27	12.3	73,36	43,36	-1,17	-2,87	16,8
		-2,07	23,4			5,51
						6,56
Сечение		3,44				---	---

Для упрощения работы с числами все вычисления выполняем в см, см², см⁴.

Координаты центров тяжести вычисляем с учетом размеров час­тей и данных по положению центров тяжести уголка и швеллера в табли­цах сортамента по ГОСТ 8509-86 и ГОСТ 8240-72.

1 – уголок правый x_c = z₀+ = 2,27 + 0,6 = 2,87 см;

y_c = z₀ = 2,27 см.

2 – уголок левый x_c = - z₀ - = - 2,27 - 0,6 = - 2,87 см;

y_c = z₀ = 2,27 см.

3 – швеллер x_c = 0; y_c = - z₀ = - 2,07 см.

4 – полоса x_c = 0; y_c = = = 10 см.

Заносим эти данные в табл. 22. Через центры тяжести частей прово­дим их централь­ные оси параллельные осям Х₀ У₀.

Площади и моменты инерции уголков и швеллера берем из таблиц сорта­мента и заносим в табл. 22. Для полосы вычисляем их по из­вест­ным формулам

F = bh = 1,2×20 = 24 см²; см⁴;

см⁴.

Определяем площадь сечения

F = F_i = 12,3 + 12,3 + 23,4 + 24 = 72 см².

Определяем координаты центра тяжести сечения x_c = 0, т.к. ось У₀ яв­ляется осью симметрии и центр тяжести находится на этой оси:

Через центр тяжести сечения проводим центральные оси Х_с У_с. Опре­деляем a_i , b_i , F_i , F_i.

1 – утолок правый:

а₁ = у_с1 – у_с = 2,27 – 3,44 = - 1,17 см ;

b₁ = х_с1 – х_с = 2,87 – 0 = 2,87 см ;

F₁ = (-1,17)²× 12,3 = 16,8×см⁴ ;

F₁ = 2,87²× 12,3 = 101×см⁴.

2 – уголок левый:

а₂ = у_с1 – у_с = 2,27 – 3,44 = - 1,17 см ;

b₂ = х_с1 – х_с = - 2,87 – 0 = - 2,87 см ;

F₂ = (-1,17)²× 12,3 = 16,8×см⁴ ;

F₂ = (-2,87)²× 12,3 = 101×см⁴.

3 – швеллер:

а₃ = у_с3 – у_с = -2,07 – 3,44 = - 5,57 см ;

b₃ = х_с3 – х_с = 0 – 0 = 0 см ;

F₃ = (- 5,57)²× 23,4 = 710×см⁴ ;

F₃ = 0.

4 – полоса:

а₄ = у_с4 – у_с = 10 – 3,44 = 6,56 см ;

b₄ = х_с4 – х_с = 0 – 0 = 0 см ;

F₄ = 6,56²× 24 = 1032×см⁴ ;

F₄ = 0.

Заносим результаты вычислений в табл. 22.

Вычисляем:

S I_{x i} = 73,36 + 73,36 + 113 + 800 = 1060 см⁴ ;

S I_{y i} = 73,36 + 73,36 + 1520 + 2,88 = 1670 см⁴;

S F_i = 16,8 + 16,8 + 710 + 1032 = 1775 см⁴;

S F_i = 101 + 100 = 202 см⁴.

Вычисляем:

I_x(с) = S I_{x i} + S F_i = 1060 + 1775 = 2835 см⁴ ;

I_у(с) = S I_{y i} + S F_i = 1670 + 202 = 1872 см⁴.

 

5. Т.к. сечение имеет ось симметрии, то главная центральная ось U совпадает с осью Х_с, главная центральная ось V - с осью У_с.

I_u = I_x(c) = 2835 см⁴ = 2835×10^-8 м⁴;

I_v = I_у(c) = 1872 см⁴ = 1872×10^-8 м⁴.