Задания для работы

1. Изготовить из жести ведро без крышки данного объема цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала ?

2. Прямоугольник вписан в эллипс с осями и . Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была бы наибольшей?

3. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения продоль­ному сжатию пропорционально площади этого сечения. Определить размеры балки, вырезанной из круглого бревна с диаметром так, чтобы ее сопротивление сжатию было наибольшим.

4. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса .

5. На странице книги печатный текст должен занимать см .Верхние и нижние поля должны быть по см., левое и правое - по см. Каковы должны быть размеры страницы для того, чтобы ее площадь была наимень­шей?

6. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса .

7. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом . Периметр окна равен . При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

8. Найти основание и высоту равнобочной трапеции, которая при данной площади имеет наименьший периметр. Угол при большем основании трапеции равен .

9. Полотняный шатер объемом имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

10. Какова должна быть сторона основания правильной треугольной призмы данного объема , чтобы полная поверхность призмы была бы наименьшей?

11. Из полосы жести шириной 30 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной тра­пеции. Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол, образуемый стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

12. На верхнее основание прямого кругового цилиндра поставлен прямой конус с таким же основанием. Высота конуса равна радиусу основания. Сумма площадей боковых поверхностей цилиндра и конуса равна 625 см . Когда объем тела, составленного цилиндром и конусом, будет максималь­ной?

13. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса , вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

14. В полушар радиуса вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объема.

15. Из круга вырезан сектор с центральным углом . Из оставшейся части круга свернута воронка. При каком значении угла вместимость воронки будет наибольшей?

16. Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра , чтобы площадь треугольника была наибольшей?

17. Резервуар, открытый сверху имеет форму прямоугольного параллеле­пипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его лужение пошло наименьшее количество мате­риала, если он должен вместить 108 литров воды?

18. Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема(плоскости оснований цилиндра и конуса должны совпадать).

19. Из квадратного листа жести площадью 30 см требуется сделать открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

20. На отрезке длины , соединяющем два источника света ( свечей) и ( свечей), найти точку наименьшей освещенности (освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника).

21. Из полосы жести шириной 11см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого должно иметь форму равнобоч­ной трапеции. Дно желоба имеет ширину 7см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

22. Найти отношение радиуса основания цилиндра к его высоте, при котором при данном объеме цилиндр имеет наименьшую полную поверх­ность.

23. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких линейных размерах(радиус и высота )это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если его объем дм ?

24. Периметр равнобедренного треугольника равен . Каковы должны быть стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?

25. На оси найти точку, из которой отрезок виден под наибольшим углом, если и .

26. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и углом 30 вписан прямоугольник, основание которого расположено на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

27. В прямоугольной системе координат через точку проведена прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая вместе с Осями координат образует треугольник. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые пря­мой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

28. На эллипсе даны две точки и . Найти на данном эллипсе третью точку такую, чтобы площадь треугольника была бы наибольшей.

29. Из круглого бревна диаметром вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно , а высота . При каких размерах балка будет иметь наибольшую прочность, если прочность пропорциональна ?

30. Требуется вырыть яму конической формы(воронку) с образую­щей, равной м. При какой глубине объем воронки будет наибольшим?