Этапы изучения теоремы

Процесс изучения теоремы включает следующие этапы: 1) мотива­ция изучения теоремы; 2) ознакомление с фактом, отраженным в тео­реме; 3) формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы; 4) усвоение содержания теоремы; 5) запоми­нание формулировки теоремы; 6) ознакомление со способом доказа­тельства; 7) доказательство теоремы; 8) применение теоремы; 9) уста­новление связей теоремы с ранее изученными теоремами.

Указанные этапы отражают деятельностную природу теоремы, идеи гуманизации и гуманитаризации образования, особенности математи­ческого знания и его усвоения. Отсюда главным в изучении теорем яв­ляется не заучивание их и их доказательств, а открытие школьниками теоремы, способа доказательства, самостоятельное конструирование доказательства, применение теоремы в различных ситуациях, установ­ление различных связей теоремы с другими теоремами.

Первые два этапа реализуются посредством построений, измерений с последующим обобщением, анализа ситуаций окружающей действи­тельности, специальных упражнений.

Примеры:

1) С теоремой о сумме углов треугольника учащиеся могут озна­комиться, измеряя непосредственно углы треугольника. Обобщая результаты измерений, учащиеся приходят к выводу, что сумма углов треугольника равна 180°.

2) Основное свойство степени с натуральным показателем учащи­еся могут выделить, выполнив упражнение: «Представьте в виде степе­
ни с показателем, отличным от единицы, произведение: а) х^г-х^г\б) ЬЬ²-Ь⁵». После выполнения нескольких подобных упражнений учащиеся замечают, что произведение двух степеней с одинаковыми осно­ваниями равно степени с тем же основанием и показателем, равнымсумме показателей этих степеней.

3) Ознакомление с закономерностью может быть осуществлено посредством выполнения цепочки взаимосвязанных упражнений. Так, ознакомление с теоремой «В треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной около треугольника
окружности принадлежат одной прямой» осуществляется путем выполнения следующих упражнений:

1. Постройте треугольник, гомотетичный данному треугольнику ABC относительно точки пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии к.

2. Постройте отрезок, в который переходит высота BD треугольни­ка ABC при указанной гомотетии.

3. Чем является для треугольника ABC точка, в которую указанная гомотетия переведет точку пересечения его высот?

4) Знакомство с теоремами курса стереометрии может осуществляться в процессе оперирования моделями фигур, построения аналога планиметрических теорем, анализа практических приемов. Например, теорема о перпендикулярности двух плоскостей может «возникнуть» в связи с обсуждением проверки вертикальности кирпичной кладки.

Для усвоения содержания теоремы можно использовать упражне­ния на выделение условия и заключения теоремы; на вычленение на чертежах и моделях таких фигур, которые удовлетворяли бы условию теоремы; на выполнение чертежа, моделирующего условие и заключе­ние теоремы. Например, усвоению формулировки теоремы «Если че­рез каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, при­чем эти две плоскости пересекаются, то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых» будет способствовать отыска­ние на моделях куба или рисунках таких фигур, которые удовлетворя­ли бы условию теоремы. Надо сказать, что с помощью рисунков мож­но открыть многие факты или убедиться в их справедливости. Так, используя графики функций, учащиеся могут самостоятельно сформу­лировать большинство теорем, относящихся к элементам математиче­ского анализа.

В целях облегчения запоминания громоздких формулировок теорем целесообразно поэлементное усвоение содержания теоремы. Для этого формулировка теоремы разбивается на отдельные элементы (в тексте элементы отделяются вертикальной чертой), после чего каждый из эле­ментов используется при выполнении упражнений.

Примеры:

1. Формулировка приведенной выше теоремы может быть разбита на следующие элементы: «Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти две плоскости пересекают­ся, то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых».
После разбиения формулировки выполняются упражнения на распознавание ситуаций, удовлетворяющих условию теоремы, с последовательным использованием каждого элемента.

2. Формулировка теоремы о квадрате двучлена разбивается на следующие элементы: «Квадрат двучлена равен сумме трех выражений: квадрата первого члена, удвоенного произведения первого члена на второй и квадрата второго члена». Затем выполняются упражнения с последовательным использованием каждого элемента.

Верны ли равенства:

a) (а+6)² = а² + 2а6+6²; б) (я-7)² = я^г-14а + 49; в) (3+х)² = 9 + 3х + х²;

г) (-х+5)² = х²-1Ох + 25; д) (а - 2Ь)² = а² - 4ab + 2b¹?

Один из учащихся вызывается к доске, другой работает с текстом, остальные выполняют упражнения в тетрадях. Ученик читает: «Квад­рат двучлена», другие учащиеся убеждаются, что выражение, например (а —7)², есть квадрат двучлена и т. д., последовательно соотнося каж­дый элемент формулировки теоремы с соответствующим элементом выражения. Указанное соотнесение может выполняться учащимися са­мостоятельно при контроле учителем их действий.

Способ доказательства может быть открыт в процессе решения специальных задач, посредством использования восходящего или нис­ходящего анализа, а также различных эвристических приемов (анало­гии, обобщения, приема опорных задач, приема достраивания фигуры, приема введения нового неизвестного, приема представления задачи в пространстве состояний и т. д.).

Примеры:

1. Доказательство теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника опирается на следующий прием: чтобы сравнить два угла, надо ввести в рассмотрение третий угол, связанный с этими двумя углами. Кстати, этот прием широко используется при доказательстве многих теорем. Открыть его учащиеся могут, выполняя упражнение: «На стороне ВС треугольника ABC взята точка D так, что
AB = BD. Доказать, что <CBAD>/_C». Данное упражнение имеет широ­кий целевой спектр: знакомит учащихся с новым способом доказательства, актуализирует знания и умения, необходимые при доказательст­ве теоремы.

2. Пусть доказывается теорема: «Если в четырехугольнике две
стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм».

Воспользуемся приемом преобразования заключения.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD — параллело­грамм, достаточно доказать, что ABWCD и AD\\BC. Учитывая, что две стороны параллельны по условию (пусть AB\\CD), докажем параллель­ность сторон AD и ВС.

Для доказательства того, что ADWBC, достаточно доказать, что, на­пример, накрест лежащие углы, образованные прямыми AD и ВС и се­кущей АС, равны.

Продолжая аналогичные рассуждения, получим доказательство те­оремы.

3. Открыть способ доказательства помогает рассмотрение частных случаев. Так, теоремам о свойствах степеней с любым рациональным
показателем можно предпослать упражнения, например на умножение степеней с конкретными показателями, выполнение которых обнару­жит способ доказательства изучаемых теорем.

return false">ссылка скрыта

Успеху в отыскании способа доказательства иногда помогает
знание «родственных» отношений между объектами. Так, блок фигур
составляют хорда, перпендикуляр к ней, опущенный из центра ок­
ружности, радиус, проведенный в конец хорды, и прямоугольный тре­
угольник, образованный этими отрезками. Взаимосвязаны два
прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, описанная окруж­
ность, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. .«Семью»
образуют касательная к окружности и радиус, проведенный в точку ка­
сания. Если в задаче задана касательная, то целесообразно на соответ­
ствующем рисунке провести радиус в точку касания и использовать их
перпендикулярность. Рисунок, содержащий два прямоугольных тре­
угольника с общей гипотенузой, следует дополнить окружностью, опи­
санной около них. Усвоение теорем, так же как и усвоение понятий, предполагает умение применять их в различных конкретных ситуациях. В учебниках математики задачи в основном и ориентированы на формирование это­го умения. Однако анализ задачного материала приводит к выводу о том, что в расположении задач отсутствует взаимосвязь, мало упраж­нений на формирование элементарных действий, немногие задачи поз­воляют использовать аналогию, обобщение их и т. д. Особое внимание должно быть уделено упражнениям на установление связей между изу­ченными теоремами, на усвоение системы теорем. Эти связи выясня­ются как путем анализа учебного материала, так и путем анализа само­го доказательства. Полезно составление «родословной» доказательства теоремы (сводя используемые предложения к аксиомам), использова­ние упражнений на группирование теорем по приемам их доказатель­ства.

В зависимости от конкретного содержания теоремы, опыта школь­ников отдельные этапы могут опускаться. Так, при изучении теоремы, формулировка которой достаточно проста, может отсутствовать, на­пример, этап усвоения условия и заключения теоремы.

Учитывая важность задач в реализации этапов работы с теоремой, представим соответствие между ними схемой (см. схему на с. 74).

3. Организация работы с теоремойРассмотрим конкретные приложения методики работы с теоремой.

3.1. Теорема о вписанном угле. Данной теореме предшествует введение понятия вписанного угла. Оно сопровождается решениями задач, в процессе которых осуществляется знакомство с понятием впи­санного угла, усваиваются действия распознавания вписанных углов, их построения, выведения следствий из факта принадлежности углов к классу вписанных и их совокупности. При отборе задач следует по­мнить о том, что изучение теоремы надо предварить актуализацией знаний и умений, используемых при ее доказательстве, знакомством с фактом, отраженным в теореме, и способом ее доказательства. Приме­нительно к рассматриваемой теореме эти функции выполняет следую­щая задача: «Найти угол ABC, вписанный в окружность с центром О, ес­ли О€ВС и ^ЛС=50°». Работа с ней может быть организована разными способами.

1-й способ. Учитель обращается к учащимся с вопросом: нельзя ли указать угол, связанный с дугой АС, зная который можно найти угол АВС1 Выясняется, что таким углом является угол АОС. /_AOC~SQ° (свойство центрального угла изучено на предыдущем уроке, акценти­рование на нем внимания уже поэтому важно). Заметим и то, что ре­шение задачи опирается на эвристику: сравнение двух объектов осу­ществляется посредством третьего, находящегося с исходными в известных отношениях. Таким объектом и будет угол АОС. Поскольку ААВО равнобедренный, то /LBAO = /_ABO. Следовательно, /_АОС = , откуда 1_АВС=75°.