Алгебраические линии и поверхности
Пусть на плоскости задана некоторая аффинная система координат. Тогда любая точка плоскости задается парой действительных чисел.
Определение 1. Множество точек плоскости, координаты которых в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению
(1)
называется линией. Если уравнение (1) разрешимо относительно y, то оно переписывается
. (1’)
Иногда для описания линии используют векторную форму записи:
. (2)
Здесь параметр , - радиус-вектор точек на линии, при изменении t концы описывают некоторую линию.
Если на плоскости рассматривается декартова система координат, то каждый радиус-вектор может быть представлен . Тогда уравнение (2) в координатах принимает вид
(3)
- параметрическое уравнение линии.
Например, - уравнение окружности, а
- уравнение спирали (см. рис.).
Линию на плоскости иначе можно задать в полярной системе координат уравнением следующего вида:
,
где - длина , - полярный угол.
Например, - полярное уравнение линии.
Если перечисленные уравнения рассматривать парами, т.е.
или или или
Тогда каждая система определяет множество точек, являющихся пересечением двух линий.
Аналогично, множество решений уравнения
, (5)
можно рассматривать как поверхность в трехмерном пространстве, где - координаты точки в заданной системе координат. Если (5) разрешимо относительно одной из переменных, то оно может быть, например, переписано в виде
. (5’)
Замечание. Если уравнение поверхности (5) не содержит одной из переменных, то соответствующая поверхность называется цилиндрической.
Прямые линии, из которых она состоит, называются её образующими, а линию, лежащую на поверхности и пересекающую все образующие, называют направляющей.
Пример. Образующие и направляющая для поверхности (параболический цилиндр) приведены на рисунке.
Если рассматривать систему
, (6)
состоящую из двух уравнений поверхностей, то система (6) в общем случае описывает кривую пересечения этих поверхностей.
Пример. Множество всех решений системы
представляет собой окружность радиуса , расположенную на высоте 1/2 от плоскости Oxy.
Любую кривую в пространстве можно также описать в виде
(7)
- векторное параметрическое уравнение линии.
Если , то уравнение (7) в координатах принимает вид
(8)
- координатное параметрическое уравнение линии в пространстве.
Определение 2. Алгебраической поверхностью называется множество точек, которые в какой-либо аффинной системе координат удовлетворяют уравнению:
(9)
где . Величина наибольшей из сумм называется порядком алгебраической поверхности.
Аналогичное определение вводится для алгебраической линии на плоскости.
Теорема 1. Алгебраическая поверхность порядка p в любой аффинной системе координат может быть задана уравнением вида (9) порядка p.
Доказательство. Пусть в некоторой аффинной системе координат поверхность задана уравнением (9). Тогда при переходе в другую аффинную систему координат переменные преобразуются по формулам:
(10)
где - матрица перехода к другому базису, а вектор - координаты преобразованного начала координат. Очевидно, что после подстановки (10) в (9) порядок уравнений не повышается.
Если бы после подстановки (10) в (9) порядок полученного уравнения повысился, то в силу обратимости (10) порядок поверхности мог бы возрасти, а это невозможно. Таким образом, при переходе к другой системе координат порядок поверхности не изменяется, ч.т.д.∎