Предельные теоремы

Учебно-методическое пособие

Ответственный за выпуск И. В. Лаврик

Компьютерный набор и верстка Н. Л. Новротская

Корректор Н. А. Бебель

 

Подписано в печать 06.08.2007. Формат 60 84 ¹/₁₆.

Бумага газетная. Гарнитура «Times New Roman».

Отпечатано способом ризографии в авторской редакции.

Усл. печ. л. 1,56. Уч.-изд. л. 1,35. Тираж 200 экз. Заказ 87.

 

Издатель и полиграфическое исполнение:

Учреждение образования

«Частный институт управления и предпринимательства».

220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.

Лицензия ЛИ № 02330/0133342 от 29.06.2004 г.

[1]Теорема Бернулли была впервые опубликована в труде Я. Бернулли «Искусство предположений», изданном в 1713 г. Первые доказательства теоремы требовали сложных математических средств, лишь в середине 19 в. П. Л. Чебышев нашел необычайно изящное и краткое ее доказательство.

[2] Марков Андрей Андреевич, русский математик, специалист по теории чисел, теории вероятностей и математическому анализу. С 1886 г. адъюнкт Петербургской АН, с 1890 г. экстраординарный, а с 1896 г. ординарный академик. В теории вероятностей Марков восполнил пробел, остававшийся в доказательстве основной предельной теоремы, и тем самым впервые дал полное и строгое доказательство этой теоремы в практически достаточно общих условиях. Дальнейшие работы Маркова по распространению основной предельной теоремы на последовательности зависимых величин привели к замечательной общей схеме «испытаний, связанных в цепь». На этой элементарной схеме Марков установил ряд основных закономерностей, положивших начало всей современной теории случайных марковских процессов.

[3] Чебышев Пафнутий Львович [14(26).5.1821, с. Окатово Калужской губернии, ныне Калужской области, – 26.11(8.12).1894, Петербург], русский математик и механик; адъюнкт (1853 г.), с 1856 г. экстраординарный, с 1859 г. – ординарный академик Петербургской АН. В теории вероятностей Чебышеву принадлежит заслуга систематического введения в рассмотрение случайных величин и создания нового приема доказательства предельных теорем теории вероятностей – так называемого метода моментов (1845, 1846, 1867, 1887 гг.). Им был доказан закон больших чиселв весьма общей форме, при этом его доказательство поражает своей простотой и элементарностью. Исследование условий сходимости функций распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону Чебышев не довел до полного завершения. Однако посредством некоторого дополнения его методов это удалось сделать А. А. Маркову. Работы Чебышева по теории вероятностей составляют важный этап в ее развитии, кроме того, они явились базой, на которой выросла русская школа теории вероятностей, вначале состоявшая из непосредственных учеников Чебышева. В честь П. Л. Чебышева АН СССР учредила в 1944 г. премию за лучшие исследования по математике.

[4]Бернулли Якоб (27.12.1654–16.8.1705) – швейцарский математик. Родился в Базеле. По желанию отца изучал теологию, но вместе с тем занимался математикой. Во время путешествия в Нидерланды и Англию познакомился с местными математиками. Возвратившись в родной город, читал лекции по экспериментальной физике. С 1687 г. – профессор математики в Базельском университете. В труде «Искусство предложения», изданном после смерти автора в 1713 г., Я. Бернулли решил некоторые задачи комбинаторики; открыл числа, позднее названные числами Бернулли; доказал так называемую теорему Бернулли – частный случай закона больших чисел, имеющего основное значение в теории вероятностей и ее приложениях к статистике; построил математическую модель для описания серии независимых испытаний (схема Бернулли). Благодаря работам Бернулли теория вероятностей приобрела важнейшее значение в практической деятельности. Многие термины теории вероятностей названы его именем.

[5] Бернштейн Сергей Натанович [5. 3.1880–26. 10. 1968) – советский математик, чл.-кор. (1924 г.), акад. АН СССР (1929 г.), акад. АН УССР (1925 г.). Род. в Одессе. Окончил в Париже университет (1899 г.) и Политехническую школу (1901 г.), доктор математических наук (1904 г.), профессор (1907 г.), доктор чистой математики (1914 г., Харьков). В теории вероятностей Бернштейну принадлежат: первое аксиоматическое построение теории вероятностей (1917 г.), исследование предельных теорем, продолжающее и в некотором отношении завершающее классические исследования А. А. Маркова (старшего) и А. М. Ляпунова, исследование стохастических дифференциальных уравнений, разработка применения методов теории вероятностей к задачам физики и статистики.

[6] Хинчин Александр Яковлевич [7(19).7.1894, с. Кондрово, ныне Калужская
область, – 18.11.1959, Москва], советский математик, член-корреспондент АН СССР (1939 г.). Окончил Московский университет (1916 г.), с 1922 г. – профессор там же. Перенес методы метрической теории функций в теорию чисел и теорию вероятностей. Является одним из создателей советской школы теории вероятностей (им получены важные результаты в области предельных теорем, открыт закон повторного логарифма, дано определение случайного стационарного процесса и заложены основы теории таких процессов). Методы и результаты теории вероятностей Хинчин широко использовал в качестве математического аппарата статистической физики, им разработаны математические методы теории массового обслуживания.

[7] Пуассон (Poisson) Симеон Дени [21.6.1781, Питивье, департамент Луара, – 25.4.1840, Париж], французский ученый, член Парижской АН (1812 г.), почетный член Петербургской АН (1826 г.). По окончании в 1800 г. Политехнической школы в Париже работал там же (с 1806 г. профессор). С 1809 г. профессор Парижского университета. Пуассону принадлежат работы по интегральному исчислению, исчислению конечных разностей,теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории вероятностей, где он доказал частный случай закона больших чисел и одну из предельных теорем (см. теорема Пуассона).

[8] Лаплас (Laplace) Пьер Симон [23.3.1749, Бомон-ан-Ож, Нормандия, – 5.3.1827, Париж], французский астроном, математик и физик, член Парижской АН (1785 г., адъюнкт с 1773 г.), член Французской академии (1816 г.). Теория вероятностей явилась основой для изучения всевозможных статистических закономерностей, в особенности в области естествознания. До него первые шаги в этой области были сделаны Б. Паскалем, П. Ферма, Я. Бернуллии др. Лаплас привел их выводы в систему, усовершенствовал методы доказательств, сделав их менее громоздкими; доказал теорему, носящую его имя (см. терема Лапласа), развил теорию ошибок и способ наименьших квадратов, позволяющие находить наивероятнейшие значения измеренных величин и степень достоверности этих подсчетов. Классический труд Лапласа «Аналитическая теория вероятностей» издавался трижды при его жизни – в 1812, 1814 и 1820 гг.; в качестве введения к последним изданиям была помещена работа «Опыт философии теории вероятностей» (1814 г.), в которой в популярной форме разъясняются основные положения и значение теории вероятностей.

^[9] Муавр(Moivre) Абрахам де [26.5.1667, Витри-ле-Франсуа, – 27.11.1754, Лондон], английский математик. По происхождению француз. Член Лондонского королевского общества (1697 г.), а также член Парижской и Берлинской АН. Он сформулировал правила возведения в n-ю степень и извлечения корня n-й степени для комплексных чисел. Исследовал степенные ряды, названные им возвратными; первым воспользовался возведением в степень бесконечных рядов. В теории вероятностей Муавр доказал частный случай так называемой теоремы Лапласа.

[10] Ляпунов Александр Михайлович [25.5(6.6).1857, Ярославль, – 3.11.1918, Одесса], русский математик и механик, член-корреспондент (1900 г.), академик Петербургской АН (1901 г.). Ученик П. Л. Чебышева. В 1880 г. окончил Петербургский университет. С 1885 г. доцент, с 1892 г. профессор Харьковского университета; с 1902 г. работал в Петербургской АН. Ляпунов создал современную строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем, определяемых конечным числом параметров. В теории вероятностей Ляпунов предложил новый метод исследования (метод «характеристических функций»), замечательный по своей общности и плодотворности; обобщая исследования П. Л. Чебышева и А. А. Маркова (старшего), Ляпунов доказал так называемую центральную предельную теорему теории вероятностей при значительно более общих условиях, чем его предшественники.