Теория полезности

Когда в предыдущем разделе при изложении теории при­нятия решений приводилась таблица потерь, там было ска­зано, что «потери» оцениваются не только денежными суммами. Во многих случаях потенциальными затратами явля­ются такие факторы, как престиж, доброжелательное от­ношение, репутация, время, беспокойство и др. Даже в том случае, когда рассматриваются деньги, их ценность или полезность нельзя считать прямо пропорциональной сумме, которой вы располагаете. Это положение нетрудно проил­люстрировать на примере. Сравните ценность тысячи дол­ларов для миллионера с ценностью этой суммы для вас (миллионеры исключаются!). Чтобы составить таблицу по­терь или вложить смысл в теорию принятия решений и тео­рию игр, прежде всего необходимо ввести понятие полезнос­ти. Идея, на которой основывается это понятие, состоит в том, что строится единая шкала, называемая полезностью. На этой шкале можно найти точку, отвечающую определен­ному событию или исходу. Теория полезности, таким обра­зом, основана на идее, что существует некоторое число, обо­значаемое обычно как U(P), которое может быть поставлено в соответствие любому возможному событию (ожидаемому событию Р) и показывает полезность этого события.

Шкала полезности основана на личном предпочтении. Если отдается предпочтение Р₁ по сравнению с Р₂ (напри­мер, 10 долл. по сравнению с 5 долл.), то U(P₁)>U(P_Z). Допускается также, что имеют смысл смешанные события. Так, Р₃ может быть комбинацией таких событий Р_г и Р₂, что вероятность появления события Р₁ равна р, а вероят­ность появления события Р₂ равна 1 — р. Тогда

Это важные допущения. Часто очень трудно принять решения так, как этого требует теория полезности. Предпо­читаете ли вы получить 1000 долл. со 100%-ной вероятно­стью или же 10 000 долл. с вероятностью 1%? Предпочита­ете ли вы провести месяц в Париже в ожидании рейса абсо­лютно надежного теплохода или улететь сразу при 0,001%-ной вероятности погибнуть при авиационной катастрофе? Кроме трудностей, возникающих при принятии решений, применение теории полезности осложняется еще и тем, что принятие решения и его выполнение — различные вещи. Так, человек может сказать, что он предпочитает одно дру­гому, однако если потребуется действовать, то его дела и слова будут совпадать не всегда. Поэтому в теории полез ности важно, чтобы лицо, принимающее решения, подкре­пляло высказанные им решения своим поведением.

В теории полезности предполагается, что люди, сталки­ваясь с событиями или возможными исходами (некоторые из них могут быть смешанными, как упоминавшееся выше событие Р₃), могут решать, что они считают предпочтитель­ным и что эти решения являются правильным и надежным показателем их поведения. Для иллюстрации построения шкалы полезности воспользуемся оценками по курсу «ин­женерного проектирования», которые предпочел один из студентов при определенных условиях. Поскольку абсо­лютные значения чисел на шкале полезности выбраны про­извольно, оценке А можно поставить в соответствие 10, а оценке F — 0. Эти значения выбраны просто для удобства. Так

U (А) = 10, f/(F) = 0.

Теперь для определения полезности промежуточных оце­нок студент должен сформулировать свое предпочтение сме­шанным событиям. Чтобы найти полезность оценки В, сту­денту предложили определить значение р, удовлетворяющее соотношению

Студента спросили: «Предпочитаете ли вы получить оценку В или же с вероятностью 0,1 оценку Лис вероят­ностью 0,9 оценку М». Здесь принято В=0,1. На этот воп­рос студент сразу ответил, что он предпочитает оценку В. Затем значение р изменяется. «Предпочитаете ли вы полу­чить оценку В или же с вероятностью 0,5 оценку Лис веро­ятностью 0,5 оценку .F?» И снова студент предпочитает полу­чить оценку В. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не находится такое значение р, при котором студент отдает равное предпочтение обоим этим событиям (т. е. оценке В или комбинации А и F для данного значения р). В рассмат­риваемом примере студент совсем не хотел рисковать и очень боялся оценки F, поэтому значение р, на котором он окон­чательно остановился, равноО,99. При /9=0,99 находим, что

U (5) = 0,99- 10 + 0,01-0 = 9,9.

Аналогичным путем можно найти U(C) и U(D). Результаты показаны на рис. 16.1. Хотя в данном случае кривая не имеет смысла, поскольку оценки не непрерывны, а дискретны, все же нами построена кривая, характеризующая форму кривых полезности. На рис. 16.2 показана кривая полез­ности денег, полученная на основе предпочтений того же

F Б С

Оценки

Рис. 16.1. Кривая полезности для оценок.

студента. Чтобы получить эту кривую (заметим, что по оси абсцисс взята логарифмическая шкала), были произвольно

1 10 100 1000 10* 10^s 10^s

Рис. 16.2. Кривая полезности для денег.

установлены значения полезности 0 и 10 соответственно для 1 и 1000 долл. Обратите внимание на типичную форму кри­вой и на второй скачок, который иногда имеет место в об­ласти больших количеств такого товара, как деньги. Ясно, что ценность денег не прямо пропорциональна их количе­ству.