II. Задачи для усвоения материала.
1. Дама имеет 8 платьев, 5 пар туфель и 7 шляпок, причем она считает, что всё это сочетается одно с другим. Сколькими способами дама может одеться?
2. Известно, что в троичной системе только три цифры: 0,1,2. Сколько всего существует четырехзначных троичных чисел?
3. Мобильный номер Билайн – это десятизначное число, начинающееся с девятки, а вторая цифра 0 или 6. Сколько всего существует мобильных номеров Билайн? Хватит ли их для всего населения России?
4. Мама приготовила на обед салат, суп, второе и компот. Капризная дочь любит менять порядок этих блюд. Сколькими способами дочь может пообедать, если все блюда она обязана съесть? А если она может съесть лишь часть блюд?
5. Требуется составить пятибуквенное слово русского языка из букв А,Д,К,С,О. Студент перебирает всевозможные варианты (ОКАДС, АКОДС и т.д). Сколько всего вариантов ему предстоит перебрать?
6. В финальном заплыве стартуют 8 пловцов, им приготовлены золотая, серебряная и бронзовая медали. Сколько вариантов распределения медалей теоретически существует?
7. Вася помнит, что номер домашнего телефона у Маши шестизначный, начинается он на 56, и что все шесть цифр различны. Сколько телефонных звонков надо сделать Васе, чтобы гарантированно найти Машу?
8. Турист решил взять из своей библиотеки (в которой 30 книг) три книги с собой в отпуск. Сколькими способами он может это сделать? А если он решил взять не более трех книг?
9. У Тани 8 подруг, но на свадьбу она может пригласить только трех из них из-за недостатка мест. Сколькими способами Таня может это сделать? А сколько станет способов, если подруги Юля и Аня несовместимы в любой компании?
10. Тираж лотереи Спортлото «5 из 36» состоит в случайном выборе пяти номеров из 1,2,…,36. Сколько различных итогов тиража может быть? Во сколько раз больше исходов в лотерее Спортлото «6 из 49», чем в «5 из 36»?
11. В студенческой группе 10 юношей и 8 девушек. Требуется отобрать команду на спартакиаду по шахматам, в которой должно быть 3 юношей и 2 девушки. Сколькими способами это можно сделать?
12. У ребенка имеются таблички с цифрами 2,2,3,3,3,3,7,7,7. Он пытается сложить из них 9-значное число. Сколькими способами он может это сделать?
13. Во время длинных новогодних праздников Сережа дважды посмотрел фильм «Ирония судьбы», трижды «Терминатор» и один раз «Матрицу», но уже не помнит, в каком порядке это было. Сколько существует вариантов распределения фильмов по порядку?
14*. а) Число 10 разбивают на сумму трех натуральных чисел, например, 3+3+4 или 5+2+3. Сколькими способами это можно сделать (перестановка слагаемых считается как разные способы, т.е. 3+3+4 и 3+4+3 мы различаем)?
б) То же, но слагаемые могут быть и нулевые: 6+0+4 (по-прежнему мы отличаем это от 4+6+0).
15*. Какова мощность множества всех пятизначных чисел, у которых НЕ все цифры различны?
16*. В городе М существуют всевозможные семизначные телефонные номера (начинающиеся с 1,2,3,...,9). Номер называется счастливым, если в нем содержатся три (но не четыре!) семерки подряд, например, 1777277. Сколько всего существует счастливых номеров?
17*. Мобильный телефонный номер (МТН) – это любое семизначное число (не может начинаться с нуля!), например, 8076917 (код оператора связи мы не включаем сюда). МТН мы назовём золотым, если в нем употребляется не более двух различных цифр (например 8878787). Какова мощность множества всех золотых МТН?
18*. Автобусный билет – это число a1 a2 a3 a4 a5 a6 , где все цифры ak от 0 до 9. Билет называется строго возрастающим, если a1 <a2< a3< a4< a5< a6 . Какова мощность множества всех строго возрастающих билетов?