Свойства двумерной плотности вероятностей

2f1). Двумерная плотность вероятностей является функцией неотрицательной: для любых .

▲ Поскольку функция распределения является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов, то ее производная . Поэтому свойство следует из равенства (3.6) ■.

2f2). - условие нормировки.

▲ Из представления (3.5) следует, что , а в соответствии со свойством 2F2) двумерной функции распределения ■.

2f3). Вероятность попадания непрерывного случайного вектора в любое борелевское множество определяется формулой:

.

▲ Разобъем множество на

элементарных непересекающихся

прямоугольников со сторонами,

параллельными осям координат и

равными и , .

Так как в соответствии с (3.7) и , то в силу аддитивности вероятности имеем:

.

Последняя сумма является интегральной, и поэтому предельный переход при приводит к равенству

■.

Замечание. Приведенное доказательство свойства 2f3), хотя и не является полностью строгим, но обладает наглядностью и фактически основано на том, что любое борелевское множество представимо в виде суммы элементарных прямоугольников.

2f4). Координаты непрерывного случайного вектора с плотностью вероятностей являются непрерывными случайными величинами, плотности вероятностей которых (маргинальные плотности вероятностей), выражаются через по формулам:

, (3.8)

в точках непрерывности функций и .

▲ Из представления (3.5) следует, что

.

Дифференцируя обе части этого равенства по , в точках непрерывности функций и получаем:

.

Аналогично, из представления (3.5)

и после дифференцирования обеих частей последнего равенства по , имеем:

в точках непрерывности функций и ■.

 

Пример (Равномерное распределение в области ).

Говорят, что непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в области , если его плотность вероятностей постоянна внутри области :

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:

, то есть ,

где - площадь области .

а) Равномерное распределение в прямоугольнике.

Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат, если его плотность вероятностей имеет вид:

 

Найдем одномерные плотности вероятностей координат .

В соответствии со свойством 2f4) двумерной плотности вероятностей имеем (см. (3.8)):

.

Таким образом, то есть .

Аналогично, в соответствии с (3.8)

.

Таким образом, то есть .


б) Равномерное распределение в круге.

Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в круге , если его плотность вероятностей имеет вид:

 

 

Найдем одномерные плотности вероятностей координат .

В соответствии со свойством 2f4) двумерной плотности вероятностей имеем (см. (3.8)):

.

Таким образом,

Аналогично, в соответствии с (3.8)

.

Таким образом,

Все приведенные выше определения и формулы для двумерного непрерывного случайного вектора легко обобщаются на случай
-мерного случайного вектора .

Определение. Случайный вектор называется непрерывным, если существует такая функция
действительных переменных, что для любой точки функция распределения случайного вектора допускает представление:

.

Функция при этом называется плотностью вероятностейслучайного вектора или многомерной ( -мерной) плотностью вероятностей, или совместной плотностью вероятностей случайных величин .

Во всех точках , являющихся точками непрерывности плотности вероятностей , имеет место равенство:

.