Свойства двумерной плотности вероятностей
2f1). Двумерная плотность вероятностей 
является функцией неотрицательной: 
для любых 
.
▲ Поскольку функция распределения 
является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов, то ее производная 
. Поэтому свойство следует из равенства (3.6) ■.
2f2). 
- условие нормировки.
▲ Из представления (3.5) следует, что 
, а в соответствии со свойством 2F2) двумерной функции распределения 
■.
2f3). Вероятность попадания непрерывного случайного вектора 
в любое борелевское множество 
определяется формулой:
.
▲ Разобъем множество 
на 
элементарных непересекающихся
прямоугольников 
со сторонами,
параллельными осям координат и
равными 
и 
, 
.
Так как в соответствии с (3.7) 
и 
, то в силу аддитивности вероятности имеем:
.
Последняя сумма является интегральной, и поэтому предельный переход при 
приводит к равенству
■.
Замечание. Приведенное доказательство свойства 2f3), хотя и не является полностью строгим, но обладает наглядностью и фактически основано на том, что любое борелевское множество представимо в виде суммы элементарных прямоугольников.
2f4). Координаты непрерывного случайного вектора с плотностью вероятностей являются непрерывными случайными величинами, плотности вероятностей которых 
(маргинальные плотности вероятностей), выражаются через по формулам:
, (3.8)
в точках непрерывности функций 
и .
▲ Из представления (3.5) следует, что
.
Дифференцируя обе части этого равенства по 
, в точках непрерывности функций 
и получаем:
.
Аналогично, из представления (3.5)
и после дифференцирования обеих частей последнего равенства по 
, имеем:
в точках непрерывности функций и ■.
Пример (Равномерное распределение в области 
).
Говорят, что непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в области , если его плотность вероятностей постоянна внутри области 
:
Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:
, то есть 
,
где 
- площадь области .
а) Равномерное распределение в прямоугольнике.
Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в прямоугольнике 
со сторонами, параллельными осям координат, если его плотность вероятностей имеет вид:
Найдем одномерные плотности вероятностей координат .
В соответствии со свойством 2f4) двумерной плотности вероятностей имеем (см. (3.8)):
.
Таким образом, 
то есть 
.
Аналогично, в соответствии с (3.8)
.
Таким образом, 
то есть 
.
б) Равномерное распределение в круге.
Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в круге 
, если его плотность вероятностей имеет вид:
Найдем одномерные плотности вероятностей координат .
В соответствии со свойством 2f4) двумерной плотности вероятностей имеем (см. (3.8)):
.
Таким образом, 
Аналогично, в соответствии с (3.8)
.
Таким образом, 
Все приведенные выше определения и формулы для двумерного непрерывного случайного вектора легко обобщаются на случай
-мерного случайного вектора 
.
Определение. Случайный вектор называется непрерывным, если существует такая функция 
действительных переменных, что для любой точки 
функция распределения 
случайного вектора допускает представление:
.
Функция при этом называется плотностью вероятностейслучайного вектора или многомерной ( -мерной) плотностью вероятностей, или совместной плотностью вероятностей случайных величин 
.
Во всех точках , являющихся точками непрерывности плотности вероятностей , имеет место равенство:
.