I. Математическая модель задачи.

1) Переменные задачи.

Ведем переменные x_ij принимающие два значения:

x_ij=0, если i-й претендент (P_i) не принимается на j-ю вакансию (V_j).

x_ij=1, если i-й претендент (P_i) принимается на вакансию (V_j).

i=1,2,...7; j=1,2,...5.

2) Ограничения на переменные задачи.

Очевидно, что все переменные задачи неотрицательные и целые числа: x_ij 0 и x_ij - целые.

Кроме того, так как каждый претендент может занять только одну вакансию и все вакансии должны быть заняты, должны удовлетворяться следующие ограничения:

, j=1,2,...7 ,

, i=1,2,...5 ,

другими словами в матрице (x_ij) суммы элементов по каждой строке и суммы элементов по каждому столбцу должны быть равны единицам. Это условие означает, что выбор претендентов должен быть таким, чтобы в матрице (x_ij), представляющей решение задачи, было бы по одной единице в каждой строке и по одной единице в каждом столбце, остальные элементы матрицы должны равняться нулю.

3) Целевая функция в задаче о назначениях.

Необходимо выбрать претендентов так, чтобы суммарное число очков, набранное ими было бы максимальным. Суммарное число набранных очков вычисляется по формуле:

;

Z=c₁₁x₁₁+c₁₂x₁₂+...+c₇₅x₇₅=7x₁₁+5x₁₂+...+4x₇₅;

Окончательная математическая модель задачи записывается так:

найти max ;

при ограничениях:

x_ij 0 и x_ij - целые числа, i=1,2,...7; j=1,2,...5;

, j=1,2,...7 ;

, i=1,2,...5 .

Таким образом, задача о назначениях есть частный случай транспортной задачи (Пример 2).