Примеры построения сопряжений

Поэтапный показ решения примеров непосредственно на рисунках дает возможность во многих случаях ограничиваться локаничными пояснениями.

Пример 1. Провести касательную к окружности из произвольной точки А (рис.39).

Рис.39

Решение основано на положениях 1 и 3 (см. §8).

1. Построить точку С – середину отрезка ОА.

2. Построить точку касания Т. Для этого из центра С через концы отрезка ОА провести вспомогательную окружность и пересечь ее с заданной окружностью.

Пример 2. Внешнее касание двух окружностей. Через точку Т на окружности радиуса R₁ провести касательную окружность радиуса R₂ (рис. 40).

Рис.40

Решение основано на положении 2.

1. Из центра О₁ провести дугу окружности радиусом R₁+R₂.

2. Построить центр сопряжения О₂. Для этого провести прямую О₁Т и пересечь ее со вспомогательной дугой.

3. Из центра О₂ и через точку Т провести искомую окружность.

Пример 3. Внутреннее касание двух окружностей. Через точку Т на окружности радиуса R₁ провести касательную окружность радиуса R₂ (рис. 41).

Рис.41

Решение аналогично примеру 2. Разница лишь в том, что радиус вспомогательной дуги равен R₂-R₁.

Задачи сопряжения двух линий дугой окружности заданного радиуса решаются в три этапа: построение центра этой дуги, построение двух точек сопряжения и проведение сопрягающей дуги.

Пример 4. Сопряжение двух прямых при помощи дуги окружности радиуса R (рис. 42).

Рис. 42

1. Построить центр сопряжения С. Для этого провести и пересечь между собой две прямые, отстоящие от заданных прямых на расстоянии R.

2. Построить точки сопряжения Т₁ и Т₂. Для этого из центра С опустить перпендикуляры на заданные прямые.

3. Из центра С через точки Т₁ и Т₂ провести сопрягающую дугу.

Пример 5. Сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой радиуса R (рис. 43).

Рис. 43

1. Построить центр сопряжения С. Для этого провести и пересечь между собой дуги окружностей радиусов R₁+R и R₂-R.

2. Построить точки сопряжения Т₁ и Т₂. Для этого провести прямые О₁С и О₂С и пересечь ими заданные дуги окружностей.

3. Из центра С через точки Т₁ и Т₂ провести сопрягающую дугу.

Пример 6. Внешнее сопряжение окружности и прямой линии при помощи дуги окружности радиуса R₁ (рис. 44).

Рис. 44

1. Построить центр сопряжения С. Для этого провести и пересечь между собой прямую, отстоящую от заданной прямой на расстоянии R, и дугу окружности радиуса R+R₁.

2. Построить точки сопряжения Т₁ и Т₂. Для этого провести прямую ОС и пересечь ее с заданной окружностью. После этого из точки С опустить перпендикуляр на заданную прямую.

3. Из центра С через точки Т и Т₁ провести сопрягающую дугу.

Пример 7. Внутреннее сопряжение окружности и прямой линии при помощи дуги окружности радиуса R₁. Вариант 1 (рис. 45).

Рис. 45

Решение аналогично примеру 6. Разница лишь в том, что радиус вспомогательной дуги равен R₁-R.

Пример 8. Внутреннее сопряжение окружности и прямой линии при помощи дуги окружности радиуса R₁. Вариант 2 (рис. 46).

Рис. 46

Решение аналогично примерам 6 и 7. Разница лишь в том, что радиус вспомогательной дуги равен R-R₁.

Пример 9. Внешнее сопряжение двух окружностей при помощи дуги радиуса R (рис. 47).

Рис. 47

1. Построить центр сопряжения С. Для этого провести и пересечь между собой дуги окружностей радиусов R₁+R и R₂+R.

2. Построить точки сопряжения Т₁ и Т₂. Для этого провести и пересечь между собой прямые О₁С и О₂С.

3. Из центра С через точки Т₁ и Т₂ провести сопрягающую дугу.

Пример 10. Внутреннее сопряжение двух окружностей при помощи дуги радиуса R (рис. 48).

Рис.48

Решение аналогично примеру 9. Разница лишь в том, что радиусы вспомогательных дуг равны R-R₁ и R-R₂.

Пример 11. Смешанное сопряжение двух дуг окружностей при помощи дуги радиуса R (рис. 49).

Рис.49

Решение аналогично примерам 9 и 10. Разница лишь в том, что радиусы вспомогательных дуг равны R₁+R и R-R₂.

Задачи на сопряжение двух окружностей общей касательной решаются в три этапа: проведение вспомогательной окружности, построение точек сопряжения и проведение искомой касательной по двум точкам. Решение этих задач основано на положении 4 (§8).

Пример 12. Сопряжение двух окружностей внешней касательной (рис. 50).

Рис. 50

1. Из центра большой окружности провести окружность радиуса R₂-R₁.

2. Построить точки сопряжения Т₁ и Т₂. Для этого из средней точки О между центрами окружностей провести дугу через центр большой окружности до пересечения ее в точке Т со вспомогательной окружностью. Радиус О₂Т в пересечении с большой окружностью даст точку Т₂. Радиус из центра О₁, параллельный радиусу О₂Т₂, в пересечении с малой окружностью даст точку Т₁.

3. Провести искомую касательную по двум точкам Т₁ и Т₂.

Пример 13. Сопряжение двух окружностей внутренней касательной (рис. 51).

Рис. 51

Решение аналогично примеру 12. Разница лишь в том, что радиус вспомогательной окружности равен R₁+R₂.