лекция.
Математикалық ұғымдар.
Жоспары:
1. Математикалық ұғым; .
2. Мазмұны мен көлемі;
3. Математикалық ұғымдарды анықтау.
4. Математикалық ұғымды бөлу және жіктеме.
1. Математикалық ұғым
Ұғым – зерттелінетін объектінің жалпы, сонымен бірге маңызды белгілерін сипаттайтын ойлау формасы.
Ұғым – өте күрделі логикалық және гносеологиялық категория. Ол біріншіден, жоғарғы материяның жемісі, екіншіден, ол шындық дүниені бейнелейді; үшіншіден, жалпылау құралы; төртіншіден, ұғымның қалыптасуы сөзбен, жазумен және белгілеулермен тығыз байланысты болады. Сонымен ұғым – ойлаудың жоғарғы түрі, шындық дүниесін сипаттайтын “қару” болып табылады.
Оқыту үрдісінде матиматикалық ұғымдардың пайда болуы мен құрылымы, олардың материалдық дүниенің заттарымен, құбылыстарымен байланысын ашу – мұғалімнің бірден-бір міндеті. Мұғалім бұл күрделі әдіснамалық (методологиялық) мәселені шешу нәтижесінде оқушылардың ғылыми дүние танымын қалыптастырады. Математика ақиқат (шындық) дүниенің белгілі бір жағы болып табылатын мөлшерлік қатынастар және кеңістіктік формалар, абстрактілі объектілер мен олар туралы ұғымдарды зерттейтін ғылым екендігін түсінуге мүмкіндік береді.
Ұғымның негізгі мінездемелері ретінде:
а) ұғымның мазмұны;
ә) ұғымның көлемі;
б) ұғымның басқа ұғымдармен қатысы және байланысы қарастырылады.
Ұғымның мазмұны деп ұғымдар класына жататын барлық объектілерге тиісті елеулі белгілердің жиынтығын айтады.
Ұғымның көлемі – берілген ұғымдар класына жататын барлық объектілер жиынтығы.
Мысалы, үшбұрыш ұғымының мазмұны “бір түзуде жатпайтын үш нүкте және оларды қос-қостан қосатын үш кесінді”, яғни үш қабырғасы, үш төбесі және үш бұрышы бар фигура болса, оның көлемі барлық тең қабырғалы, тең бүйірлі, әр қабырғалы үшбұрыштар бола алады.
Сол сияқты “функция” ұғымының мазмұны – аргументтің әрбір мәніне белгілі бір ереже немесе заң бойынша функцияның бір мәні сәйкес келуі болады. Оның көлеміне сызықтық функция, квадраттық функция, көрсеткіштік, логарифмдік функция т.б. жатады.
Сонымен ұғымның мазмұны – оның мәнді (елеулі) белгілері болады да, көлеміне ұғымға енетін барлық объектілер жиынтығы жатады.
Ұғымның көлемін дұрыс елестету үшін оны “логикалық дөңгелек” арқылы кескіндеу тиімді. Мұндағы үлкен дөңгелек берілген ұғымды көрсетсе, оның ішіндегі кіші дөңгелектер берілген ұғымға жататындарын білдіреді. Мысалы, суретте үлкен дөңгелек жай бөлшек ұғымы (М) болса, оның ішіндегі дөңгелектер жай бөлшек ұғымына жататын дұрыс (N) бұрыс (K) бөлшектер болады.
Егер ұғымның көлемі көптеген ұғымдарды қамтитын болса, онда берілген ұғымның көлемі кең, ал ол ұғымдар аз болса, ұғымның көлемі тар делінеді. Егер ұғымның сәйкес класына енетін объектілердің артық, елеулі қасиеттері көп болатын болса, ұғымның мазмұны бай, ал ондай ортақ белгілер аз болса, ұғымның мазмұны кедей деп (аталады) аталынады.
Ұғымның көлемі мен мазмұны бір-біріне кері қатынаста болады, ұғымның көлемі кең болған сайын, оның мазмұны соғұрлым кедейлене береді, көлемі тарылған сайын, оның мазмұны байи түседі және керісінше.
2. Математикалық ұғымдардың анықтамасы және олармен жүргізілетін жұмыстар
Ұғымдармен жұмыс жүргізгенде қолданылатын логикалық амалдардың бірі – ұғымдарды анықтау. Ұғымның анықтамасыдеп ұғымның қажетті және жеткілікті белгі-шарттарын көрсететін сөздік немесе символдық сөйлемді айтады.
Оқыту үрдісінде оқушыларды математикалық ұғымдардың анықтамаларын дұрыс және дәл тұжырымдауға баулуға ерекше назар аударылады. Математикалық ұғымдарға дәл анықтама беруге үйрету арқылы оқушылардың математикалық білімдерді саналы игеруі қамтамасыз етіледі, олардың логикалық ойлауы жетілдіріле түседі.
Оқушыларды ұғымның анықтамасын дұрыс тұжырымдай білуге үйрету үшін алдымен анықтама құрылысының қандай болатындығы туралы мағлұмат берілуі тиіс.
Ұғымды анықтау математикада үлкен рөл атқарады. Сондықтан математиканы оқыту үдерісінде мұғалім математикалық анықтамалардың дұрыс және дәл тұжырымдалғанына ерекше назар аударып отырады.
1. Ұғымды тегі және түрлік ерекшеліктері бойынша анықтау.
Ұғымды тегі және түрлік ерекшеліктері бойынша анықтау үшін алдымен қандай да бір ұғым таңдалынады да, ол ұғымның белгілі бір ерекшелік бойынша одан басқа ұғым бөлініп алынады. Алғашқы ұғым тектік ұғым немесе ұғымның тегі, одан бөлініп алынған ұғым түрлік ұғым немесе анықталатын ұғым делінеді. Тектік ұғымнан түрлік ұғымды (анықталатын ұғымды) бөліп алатын белгі түрлік айырмашылық немесе түрлік ерекшелікдеп аталынады. Мысалы, параллелограмның анықтамасы былай тұжырымдалады: “Параллелограмм деп қарама-қарсы қабырғалары параллель төртбұрышты айтады”. Бұл анықтамадағы тектік ұғымның аты – төртбұрыш, анықталатын ұғым параллелограмм, ал түрлік айырмашылық – қарама-қарсы қабырғалары параллель.
Мектеп математика курсында анықтамалардың көпшілігі “ұғымның тегі және түрлік белгілері (ерекшеліктері)” негізінде тұжырымдалады. Ондай анықтаманың құрылысы былай кескінделеді.
1. Анықталатын ұғым = түрлік ерекшелік + ұғымның тегі.
2. Түрлік ерекшелік + ұғымның тегі = анықталатын ұғым.
Анықтаманың құрылысы басқаша да болуы мүмкін. Анықтама қандай түрде тұжырымдалғанына қарамастан, оның құрамында анықталатын ұғым, ұғымның тегі және анықталатын ұғымды, оның тектік ұғымынан ажыратып тұратын түрлік белгілері болатындығын оқушы жақсы білуі тиіс. Сондықтан оқушы ұғымның анықтамасын айтудан бұрын мынадай екі нәрсені ой елегінен өткізіп алады:
1) Анықталатын ұғымның ең жақын тегі қандай?
2) Анықталатын ұғымды оның ең жақын тегінен бөліп тұратын түрлік ерекшелігі қандай?
Оқушылар анықталатын ұғым мен тектік ұғым арасындағы қатысты (байланысты айқын түсініп, көзге елестете алу үшін, дөңгелек диаграмма арқылы көрсету пайдалы. Мұндағы А – анықталатын ұғым, В – тектік ұғым. Диаграммадан көрінгендей тектік ұғым анықталатын ұғымды қамтып тұрады, басқаша айтқанда, анықталатын ұғым тектік ұғымның ішкі жиыны болады. Ұғымдарға анықтама беру, оның ең жақын тегі бойынша жүзеге асырылады. Мысалы, жоғарыдағы келтірілген анықтамада параллелограмның анықтамасы, оның ең жақын тегі төртбұрыш арқылы анықталған. Ұғымды тегі және түрлік ерекшелігі бойынша анықтау формальды логикалық анықтама деп аталынады. Мектеп математика курсында ұғымдар көбінесе ең жақын тегі мен түрлік ерекшеліктері арқылы анықталады. Анықтамада ұғымның тегі көрсетіледі, ал анықталатын ұғым, оның түрі ретінде енеді, онан соң жаңадан енгізілген ұғымды тектің басқа түрлерінен ерекшелейтін белгілері айтылады. Мысалы, тура пропорционалдықтың анықтамасы былай тұжырымдалады: “ 
(мұндағы 
нөлге тең емес сан) формуласы түріндегі функцияны тура пропорционалдық деп атайды”. Бұл анықтамада тектік ұғым “функция”, анықталатын ұғым “тура пропорционалдық”, түрлік ерекшелік – функцияның 
түріндегі берілу мүмкіндігі.
2. Генетикалық анықтама ұғымның пайда болу жолын немесе тәсілін көрсету арқылы құрылады. Генетикалық анықтама да ұғымның тегін және түрлік ерекшелігін көрсетеді, бірақ түрлік ерекшелік ұғымның қалай пайда болатынын сипаттайды.
Генетикалық анықтама мынадай сүлбеде құрылады:
Анықталатын ұғым = ұғымның құрылу үрдісі + тегі.
Ұғымның құрылу үрдісі + тегі = анықталатын ұғым.
Мысалы, “Шеңбер деп берілген нүктеден бірдей қашықтықта жатқан жазықтық нүктелерінен тұратын фигураны айтады”. Бұл анықтамадағы анықталатын ұғым – шеңбер, түрлік ерекшелік немесе ұғымның құрылу жолы – бір нүктеден бірдей қашықтықтағы барлық нүктелер, тегі – фигура. “Екі жақты бұрыш деп ортақ бір түзумен шектелетін екі жарты жазықтықтан жасалған фигураны айтады”. “Пирамида дегеніміз – жазық көпбұрыштан, ол көпбұрыш жазықтығында жатпайтын нүктеден және сол нүктені көпбұрыштың нүктелерімен қосатын барлық кесінділерден тұратын көпжақ” т.б. анықтамалар генетикалық анықтаманың мысалдары болады.
Генетикалық анықтамалар алгебрада рекурентті анықтамалар түрінде де кездеседі. Мысалы, арифметикалық және геометриялық прогрессияның анықтамалары бірінші мүшесінен басқа әрбір мүшесін алдыңғы мүшеден алу тәсілі бойынша анықталады.
Математикада кейбір анықтамалар теңдік түріндегі символдық тілмен де беріледі. Мысалы:
3. Жанамалай анықтау. Ұғымды жанамалай анықтауда ұғымның қасиеттері мен арақатыстары аксиома арқылы сипатталады. Мысалы, геометрия курсындағы “нүкте”, “түзу”, “жазықтық”, “ара қашықтық” сияқты алғашқы ұғымдардың қасиеттері мен арақатыстары аксиомалары арқылы ашылады.
Мектеп математика курсында анықтама берілмейтін ұғымдарға “сан”, “нүкте”, “жазықтық”, “түзу”, “кеңістік”, “уақыт”, “шама” т.б. жатады. Бұл ұғымдар материалдық дүниенің объектілерін абстракциялау жолымен алынған, сондықтан бұларды оқыту барысында көрнекілікке ерекше назар аударылады. Бірақ алғашқы ұғымдардың дұрыс қалыптасуын есепке алу мақсатымен “Сан деген не?”, “Нүкте деп нені айтамыз?” т.б. сұрақтар қоюдың мәні жоқ.
Оқушыларды анықтамаларды дұрыс тұжырымдауға үйрету үшін мынадай ережелер ескеріледі.
1. Анықтаманың өлшемдестігі.Бұл анықтамадағы елеулі белгілер анықталатын ұғымды басқа ұғымдардан айыру үшін қажетті және жеткілікті болу керек дегенді білдіреді.
2. Анықтамада тек қана елеулі қасиеттер көрсетілуі тиіс.
Мысалы, “Квадрат деп барлық қабырғалары тең тіктөртбұрышты айтады және оның диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді” деген анықтамада “диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді” белгісі артық, себебі ол белгі барлық параллелограмға тиісті, екіншіден, анықтамаға бұны қосып айту, оқушыларда бұл қасиет тек квадратқа ғана тиісті болады деген жалған түсінік пайда болуына әкеліп соғады.
3. Анықтамада терістеу болмауы керек.Мысалы, “трапеция үшбұрыш емес”, “сызықтық теңдеу деп екі шешімі болмайтын теңдеуді айтады”.
4. Анықтамада тавтология болмау керек.Бұл анықталатын ұғымды сол ұғымның өзімен анықтамау дегенді білдіреді. Мәселен, “Қосу деп қосындыны табу амалын айтады”, “көбейту дегеніміз – көбейтудің нәтижесі” т.б.
5. Анықтама түсінікті болуы қажет т.б.
Мектептегі оқыту тәжірибесіне жасалынған талдаулар, анықтамаларды тұжырымдау кезінде оқушылар төмендегідей қателер жіберетінін көрсетті:
1. Анықтамаға бір-бірінің логикалық салдары болатын ұғымның қасиеттерін қосу. Мысалы, “Параллелограмм деп қарама-қарсы қабырғалары параллель және тең төртбұрышты айтады” түрінде берілген анықтамада параллелограмның белгісіне, оның логикалық салдары болып табылатын қасиеті қосылған. “Дөңгелектің центрі арқылы өтетін ең үлкен хорда диаметр деп аталады” деген анықтамада не “центрі арқылы өтетін хорда” не “ең үлкен хорда” белгілерінің бірі алынуы керек. Басы артық белгілерді анықтамада қосып айту мектеп оқулықтарында да кездеседі. Оны авторлар педагогикалық тұрғыдан саналы түрде жасайды. Мысалы, А.В.Погореловтың оқулығында тіктөртбұрыштың анықтамасы былайша тұжырымдалған: “Тіктөртбұрыш дегеніміз – барлық бұрыштары тік болатын параллелограмм”. Параллелограмның бір бұрышының тік болуы оның тіктөртбұрыш болуы үшін жеткілікті, бірақ “барлық бұрыштары тік” болады деп толықтыру анықтаманы айқын және бейнелі етуге мүмкіндік береді.
2. Ұғым мағынасы дәл ашылмаған анықтамалар. Мысалы, “параллелограмм дегеніміз – параллель қабырғалары бар төртбұрыш” деген сөз тіркесі параллелограмм ұғымының көлемін кеңейткенімен мазмұнын ашпайды, яғни бұл жағдайда төртбұрыш трапеция болуы да мүмкін. Қателік параллелограмм анықтамасындағы “қарама-қарсы қабырғалары” сөзінің қалдырылып кетуінде болып отыр.
3. Тектік ұғымдардарға қатысты қате анықтамалар. Мұндай жағдайда анықталатын ұғымның тектік ұғымы айтылмай, ол басқа сөзбен алмастырылады немесе ең жақын тегі аталмай қалады. “Параллелограмм дегеніміз – оның қарама-қарсы қабырғалары параллель”, “Қарама-қарсы қабырғалары параллель болған жағдайда параллелограмм болады” т.с.с. Бұл жерде параллелограмның ең жақын тегі төртбұрыш айтылмай отыр.
4. Түрлі белгілерге байланысты қате анықтамалар. Ұғымды басқа ұғымнан өзгешелеп тұратын белгілерді дұрыс көрсетпеу нәтижесінде пайда болатын қате анықтамаларға мыналар мысал бола алады: “Қиылыспайтын екі түзу параллель түзулер деп аталады”, “Алымы бөлімінен үлкен бөлшек бұрыс бөлшек” т.с.с. Мұның біріншісінде “бір жазықтықта жататын” деген түрлік белгінің айтылмауынан ол сөйлемге айқас түзулер де сай келеді. Ал екіншіде “немесе тең” деген сөздің қалдырылып кетуі әсерінен бұрыс бөлшек ұғымының мазмұны толық ашылмайды.
5. Анықтамаға елеусіз белгілерді қосуға байланысты қате анықтамалар. Ұғымдарға анықтама тұжырымдау барысында оқушылар анықтаманы қысқартып айту мақсатымен ұғымның елеусіз белгілерін қосу да кездесіп қалады. Мұндай жағдайлар математикалық объектінің кескініне немесе символдық белгіленуіне байланысты аналогиядан туындаса керек. Мысалы, “Ондық бөлшек – үтірі бар сан”, “Әріптің алдында тұрған сан коэффициент деп аталады” т.б.
Әдістемелік әдебиеттерге талдау жасау мен мектептегі оқыту тәжірибесінде жинақталған іс-тәжірибеге сүйене отырып, оқушыларды математикалық ұғымдардың анықтамасын білуге үйретуді мынадай бағыттарда жүргізудің тиімділігін көрсетуде:
I. Ұғымның анықтамасын тұжырымдап айту. Ондағы анықталатын ұғымды ажырату.
II. Анықталатын ұғымның тектік ұғымы мен түрлік белгілерін (ерекшеліктерін) айыру.
III. Берілген объект ұғымның анықтамасына жататынын не жатпайтындығын анықтай алуға үйрету.
IV. Оқушыларды анықтаманы оқулықтағыдай тұжырымдап айтып беруге немесе оның мазмұнына нұқсан келмейтіндей етіп өздігінше айтуға дағдыландыру т.б.
3.Ұғымдарды бөлу және жіктеу
Ұғымдармен жүргізілетін жұмыстардың ішіндегі екінші бір логикалық амал - бөлу және жіктеу(классификациялау).
Оқушылардың логикалық ойлауын жетілдіруде ұғымдарды жіктеудің маңызы ерекше. Бөлу және жіктеу амалдарын жүзеге асыру нәтижесінде оқушылар ұғымдардың көлемі мен мазмұны, белгілері, тектік ұғымды көрсете алу және олардың түрлік ұғымдарын табу т. б. сияқты ұғымдармен жүргізілетін жұмыстарды меңгерсе, екінші жағынан жіктеу арқылы осы білімдерді тиянақтауға мүмкіндік туады.
Ұғымдарды түрлі топтарға бөлумен таныстыру ұғымдарды қалыптастыруда, есептер мен мысалдар шығаруда қажетті құрал болып табылады. Жіктеу оқушылардың танымдық қызметі үшін де маңызды. Тектік ұғымдарды түрлік бөліктерге бөлу арқылы, оны тереңірек және толық зерттеуге мүмкіндік туады. Мәселен, квадрат теңдеулерді шешуді үйрету барысында, оны толық, толымсыз және келтірілген түрлеріне ажырату арқылы оқушылардың квадрат теңдеу туралы толық түсінігі қалыптасады. Сол сияқты тригонометриялық теңдеулерді жай, біртекті, квадрат тендеулерге келтірілетін т. б. түрлерге жіктеу арқылы үйрету оқушылардың тригонометриялық теңдеулерді шешу дағдыларын берік қалыптастырады.
Сонымен математикалық ұғымдардың мазмұны мен көлемін ашу мақсатында оларды әр түрлі топтарға бөліп, әрқайсысын жеке-жеке ойлау объектісі ретінде қарастыруға тура келеді. Ұғымдарды анықтау амалы ұғымның мазмұнын ашатын болса, жіктеу - ұғымның көлемін анықтайды. Жіктеудің мақсаты ұғымға жататын оның барлық түрлерін көрсету.
Ұғымдарды қандай да бір белгілері бойынша бір-бірімен үйлеспейтін бөліктерге ажырату амалы бөлу деп түсініледі. Мұндағы бөлінетін ұғым - ұғымның тегі (немесе белінгіш ұғым), одан бөлініп алынғандары - түрлік ұғымдар (бөлу мүшелері) болады. Ұғымды бірнеше бөліктерге бөлетін белгісі бөлудің негізі деп аталынады. Бөлудің негізі түрлік ерекшелік болып табылады.
Ұғымдарды жіктеу үшін бөлу, жіктеу (немесе бөлу) негізі деген не, жіктеу кезінде қандай ережелерді басшылыққа алу керек т. б. мәселелерді айқын білуге тура келеді. Сонымен қатар ұғымдарды жіктеу оқушылардың белгілі бір іс-әрекеттер тізбегін орындауымен де сипатталады: 1) алдымен жіктеу негізі болатын, ұғымның қандай да бір белгілері таңдап алынады; 2) таңдап алынған негіз бойынша жіктеу ережелерін сақтай отырып, жіктеу жүзеге асырылады.
Егер үшбұрыштың бөлу негізіне оның бұрыштарын алатын болса, онда ол сүйір бұрышты, тікбұрышты, доғал бұрышты үшбұрыштарға, ал қабырғалары бойынша бөлетін болсақ - тең қабырғалы, тең бүйірлі, әр түрлі қабырғалы үшбұрыштар болар еді. Мұны сүлбе түрінде былай кескіндеуге болады (1- сурет):
1- сурет
Бөлудің ерекше түрі - жіктеу. Жіктеу ұғымының елеулі белгілері бойынша бөліктерге бөліп қоймастан, ол бөліктердің өзін тағы да майда бөлікшелерге ажыратады.
Үшбұрыш ұғымының бөлігі болатын тікбұрышты үшбұрышты тағы да екі қабырғасы тең болатын және екі қабырғасы тең болмайтын екі бөлікке бөлшектеуге болады. Тең бүйірлі үшбұрыш та екіге бөлінеді:тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыш, тең бүйірлі тікбұрышты емес үшбұрыш.
Жіктеудің мынадай құрамды бөліктері бар:
1) жіктеуші ұғымдар — көлемін ашуды қажет ететін ұғымдар;
2) жіктеу негізі — жіктеу жүргізілетін белгілер;
3) жіктеу мүшелері — жіктеу нәтижесінде пайда болатын ұғымдар.
Мәселен, V сыныпта жай бөлшектерді дұрыс және бұрыс бөлшектер деп екіге бөледі. Мұндағы жіктелетін ұғым — жай бөлшектер, жіктеудің негізіне бөлшектің алымы мен бөлімін салыстырудағы «кіші», «үлкен» немесе «тең» қатыстары жатады, жіктеу мүшелері — дұрыс және бұрыс бөлшектер.
Жіктеу арқылы тектік ұғым оған бағынышты түрлік ұғымдар жүйесіне жіктеледі.
Жіктеудің екі түрі бар: түрлік өзгерістегі белгілер бойынша жіктеу; дихтомиялық жіктеу.
2. Түрлік өвгерістегі белгілер бойынша жіктеу.
Ұғымдарды әр түрлі негіз бойынша жіктеуге болады, яғни бөлу негізі үшін ұғымның түрліше белгілері алынуы мүмкін. Ұғымдарды әр түрлі белгілеріне байланысты бөлу түрлік өзгерістегі белгілер бойынша (қысқаша түрлік өзгерістегі) жіктеу деп аталынады. Мысалы, алгебрада теңдеулерді дәреже көрсеткішіне байланысты бірінші дәрежелі, екінші дәрежелі, үшінші дәрежелі т. С. С. Жіктейді. Квадрат тендеулерді х-тің коэффициенті және бос мүшенін нөлге тең болу, болмауына қарай толык, және толымсыз квадрат тендеулер ажыратады. Егер теңдеулерді белгісіздердің санына байланысты жіктейтін болсақ, онда оларды бір белгісізі бар, екі белгісізі бар, үш белгісізі бар теңдеулер деп бөледі. Теңдеулер жүйесін сызықтық теңдеулер жүйесі, біреуі бірінші дәрежелі, ал екіншісі екінші дәрежелі тендеулер жүйесі т. Б. деп жіктеуге болады.
Түрлік өзгерістегі жіктеу, бір мезгілде ұғымның бірнеше белгісі бойынша да жүргізілуі мүмкін. Мысалы, екі белгісізі бар бірінші дәрежелі теңдеу, екі белгісізі бар екінші дәрежелі теңдеу т. Б,
Жіктеу негізін таңдап алу оқу материалының мазмұнына және қойылған мақсатқа байланысты болады. Жіктеудің мақсаты үшін функциялардың жұптығы алынатын болса, онда функцияларды жұп функциялар, тақ функциялар, жұп та тақ та емес функциялар деп ажыратады. Есеп шығару кезінде үшбұрыштардың бұрыштарын қарастыру қажет болса, онда сүйір, доғал, тікбұрышты үшбұрыштар деп жіктеуге тура келеді.
Ұғымдарды қандай жағдайда жіктейтін болсақ та жіктеу негізі объективті болу керек, мәселен есепті оңай немесе қиын деп бөлуге болмайды.
2. Дихтамиялық жіктеу. Дихтомиялық жіктеу бойынша ұғымдар бір-біріне қарама-қарсы (қайшылықта болатын) екі ұғымға ажыратылады. Ұғымдардың бірі қандай да бір белгіге ие болады да, екіншісінде ондай белгі болмайды. Дихтомия гректің dicha және tоте деген сөздері негізінде алынған, оның сөзбе-сөз мағынасы «екі бөлікке жару».
Дихтомиялық жіктеу бойынша сандар оң және теріс, жазықтықтағы түзулер қиылысатын және қиылыспайтын (параллель және параллель емес), теңдеулер сызықтық және сызықтық емес т.с.с. бола береді.
Дихтомиялық жіктеу ұғымдарды бірінен соң бірін бірнеше рет бөліктеуге мүмкіндік береді. Үшбұрыштардың тікбұрышының болу, болмауына қарай жіктеу мынадай түрде болады:
2-сурет
Ұғымдарды бірі екіншісіне қарама-қайшылықта болатын екі ұғымға жіктеу кезінде «емес» арқылы бөлінгенінің түрлі ұғымдары анықталмай қалады. Мысалы, тікбұрышты емес үшбұрыштың өзін не бұрыштарына, не қабырғаларына қатысты жіктеуге болады:
3-сурет.
Жіктеу арқылы ұғымдардың көлемі туралы толық мағлұмат алуға болады. Мысалы, мектеп математика курсындағы нақты сандар ұғымының жіктеуі мынадай:
4-сурет.
Бұл жіктеудің ішінде өз алдына бөлінетіндер болады.
5-сурет.
Мектептегі оқыту тәжірибесінде жіктеудің екі түрі де қолданылады. Алғаш жіктелетін ұғымның көлемі дихтомия негізінде бір-біріне қарама-қарсы екі түрлік ұғымға бөлінеді. Сонымен бір мезгілде кейбір ұғымдар түрлік өзгерістер бойынша жіктеліп жатады. Кейде жіктелудің екі түрі де бірінен сон бірі орындалады.
Дихтомиялық жіктеумен оқушылар бөлшек сандарды оқып үйренуде танысады. Бөлшектер жай және ондық бөлшектерге бөлінеді. Жай және ондық бөлшектердің өзі түрлік өзгерістер бойынша дұрыс, бұрыс және аралас бөлшектерге ажыратылады. Натурал сайдар жай және құрама, бір сандарына бөлінеді. Түзулер қиылысатын және қиылыспайтын болып жіктеледі.
Ұғымдарды жіктеу арқылы оқушылар ұғымның белгілерін дұрыс ұғынып, тектік және түрлік ерекшеліктердін, арақатынасын ажыратуға және берілген ұғымның жіктеу кезінде пайда болған бөліктерінің ұқсастықтары мен айырмашылықтарын айқын көруге мүмкіндік туады. Жіктеу мүшелерінің әрқайсысы түпкілікті қарастырылып зерттеледі. Мысалы, геометриялық фигураларды түрлендіруді оқып үйренуде оның екі нүкте ара қашықтығын сақтайтын және екі нүкте ара қашықтығын сақтамайтын түрлеріне ажыратады. Алдымен түрлендірулер кезінде екі нүктенің ара кашықтығың сақтайтын түрлері қозғалыс, оның ішінде остік және центрлік симметрия, параллель көшіру оқытылады. Одан соң түрлендірулер кезінде екі нүктенің ара қашықтығын сақтамайтын ұқсас түрлендірулер қарастырылады.
3.Жіктеу ережелері.
Логикалық жіктеу амалын оқушылардың ұғынуы онша қиынға түспейді. Себебі жіктеу мәселесімен мектептегі барлық пәндерді оқыту кезінде таныстырылады. Дегенмен ұғымдарды жіктеу кезінде оқушылардың қателесуіне жол бермеу үшін мұғалім төмендегідей талаптардың орындалуын қадағалап отыруы тиіс. Бұларды жіктеу ережелері деп те атайды.
— Жіктеу негізі бірыңгай болуы керек, яғни ұғымның белгілі бір ерекшелігі бойынша ғана жіктеледі. Мәселен, үшбұрыштарды не қабырғаларының, не бұрыштарының шамасына қарай бөледі. Үшбұрыштарды тікбұрышты, тең бүйірлі, сүйір бұрышты деп жіктеуге болмайды.
Мектеп тәжірибесінде параллелограмды тіктөртбұрыш және ромб деп жіктеу жиі кездеседі, ол да дұрыс емес. Оның себебі тіктөртбұрыштар параллелограмдар ішінен барлық бұрыштарының тікбұрышты болуына, ал ромб барлық қабырғаларының тең болуы бойынша бөлініп алынған. Демек, оларды бөлу негіздері әр түрлі.
Әрине, қандай да бір объектіні түрліше сүйеніп жіктеуге болады. Мұның бір заттың өзін түрліше көзқарас тұрғысынан зерттеуге болатындығы жағынан ғылыми және тәжірибелік маңызы бар. Мысалы, бір жіктеу жүйесінде квадратты тіктөртбұрыштың түрі, ал екіншісінде ромбының түрі ретінде қарастыруға болады. Мұндай жағдайлар есептер шығаруда пайдалы.
Кейде оқушылар көпжақтар призмаларға, пирамидаларға бөлінеді деп есептейді. Оның өзіндік себебі де бар: мектеп геометрия курсында көпжақтардын призмалар және пирамидалардан басқа түрлері қарастырылмайды (кейбір дұрыс көпжақтардан басқа). Аталған қателікті болдырмау максатында «Көпжақтар» тақырыбын оқыту кезінде мектеп геометрия курсында қарастырылмайтын, басқа да көпжақтардың түрлерімен нақтылы модельдер арқылы таныстырған жөн. Содан кейін мектепте оқылатын көпжақтарды әр түрлі негіздер бойынша жіктеудің жолдары көрсетіледі. Мысалы, көпжақтар дұрыс және дұрыс емес, призмалар және призма еместер т.б. деп бөлуге болатындығы айтылады.
2. Жіктеу элементтерінің бірі екіншісіне тиісті болмау керек, яғни олардың ортақ элементтері болмайды. Мысалы, натурал сандарды тақ және жай сандар деп бөлуге болмайды, себебі 7 саны әрі жай, әрі тақ сан.
3. Жіктеу ұғымның ең жақын тегі бойынша жүргізіледі. Мысалы, көпбұрыштарды төртбұрыш, параллелограмм, трапеция деген тізбекпен жіктеуге болмайды. Соңғы жағдай керісінше болуы мүмкін. Себебі параллелограмм ұғымының ең жақын тегі төртбұрыш болғанымен де, параллелограмм трапецияның ең жақын тегі бола алмайды.
Нақты сандарды иррационал, бүтін және бөлшек сандар деп бөлуге де болмайды. Себебі бүтін және бөлшек сандарға өтуден бұрын аралық рационал сандар ұғымы қарастырылмай отыр.
4. Жіктеу толық болу керек. Мәселен, рационал сандарды оң және теріс сандарға бөлу жеткіліксіз, себебі оған нөл саны енбей қалып отыр.
5. Жіктеу өлшемдес болуы керек. Бұл жіктелетін ұғым мен оның бөлшектері көлемінің дәл келуін білдіреді.
Ұғымдарды жіктеу нәтижесінде оқушылар мынадай мәселелерді айқын түсінуі тиіс:
— жіктеу ұғымының кандай да бір белгісі (жіктеу негізі) бойынша жүргізіледі;
— жіктеу негізін тандап алуға байланысты жіктеу түрліше
болады;
— жіктеу мүшелері бөліктенген кластардың біреуіне ғана тиісті болады, бір мезгілде екі класқа жатқызуға болмайды.
4.Ұғымдарды жіктеу дағдыларын қалыптастыруға арналған жаттығулар.
Мектептегі оқыту үрдісінде ұғымдарды қандай да бір белгілері бойынша бөліп қарастырғанмен, яғни жіктеу жүргізілгенімен «жіктеу» туралы ұғымы берілмейді, қандай ережелер бойынша жіктеліп отырғандығы туралы түсінік жасалынбайды. Оқу бағдарламасы бұл мәселелерді айқын емес түрде қалыптастыруды көздейді. Сондықтан жіктеу ұғымы туралы айқын болмаса да, дұрыс түсінік қалыптасуы үшін оқушылармен мақсатты жаттығулар орындалуы қажет. Мектеп оқулықтарында ондай жаттығулар өте аз.
Жіктеу ұғымын және оқушылардың жіктеу дағдыларын қалыптастыруға бағытталған мынадай жаттығулар үлгісін ұсынамыз:
1. Мына төртбұрыштардың ішінен:
а) Тіктөртбұрышты көрсет;
ә) Тіктөртбұрыш болмайтындарын көрсет;
б) Төртбұрыштардың ішінен тіктөртбұрыштарды қалай ажыратып алдың (6-сурет)?
6 – сурет.
2. Берілген төртбұрыштардың ішінен квадратгы және квадрат еместерін көрсет (7-сурет).
а) Төртбұрыштың барлық қабырғалары тең болса, ол квадрат бола ма?
7 – сурет.
ә) Төртбұрыштың барлық бұрыштары тік болса, ол квадрат бола ма?
б) Тіктөртбұрыштың барлық қабырғалары тең болса ше?
в) Қандай шарттар орындалғанда төртбұрыш квадрат болады?
3. Берілген бөлшектердің дұрыс және бұрыс бөлшектерін бөлек жаз.
4. Жай бөлшектер екі бөлікке дұрыс ажыратылған ба?
Дұрысбөлшектер: 
Бұрыс бөлшектер: 
5. Жай бөлшектерді және ондық бөлшектерді бөліп жаз. Оларды екі топқа бөлу себептерін айтып бер.
6. Мыңа сандарды екі топқа бөліп жаз:
1; 2; 3; 5; 6; 7; 12; 15; 18; 34; 36; 72.
а) 36 санының бөлгіштерін;
ә) 36 санының бөлгіштері еместерін.
7. Мына сандарды екі топқа бөл:
37; 45; 50; 58; 60; 125; 360; 900.
а) 5-ке бөлінетін сандар; ә) 5-ке бөлінбейтін сандар.
8. 6 санына еселі болатын және оған еселі болмайтын сандарды көрсет.
65; 6; 10; 12; 13; 18; 21; 24; 30; 32; 45; 48; 54.
9. а және b әріптерінің нөлге қатысына байланысты ах=b тендеуінің шешімдері қандай болады?
10. ах2 + bх + с =0 квадрат тендеуін b және с мәндерінін нөлге тең болуына байланысты қандай теңдеулер пайда болады? Олар қалай аталады? Әрқайсысына нақтылы мысалдар келтір.
11. ах2 + bх + с = 0 тендеуінің шешімдерін дискриминанттың нөлге қатысына байланысты жікте.
12. у=ах2 + bх + с функциясының сызбасы D-ның, және а-ның мәндеріне байланысты жіктелген. Осы жағдайлардың әрқайсысына нақты мысалдар келтір.
8-сурет.
13. Үшбұрыштар бұрыштарының шамасына қарай қалай жіктеледі? Бұл жіктеудің қандай түріне жатады?
14. Қабырғаларының шамасына қарай үшбұрыштарды жікте.
15. Төртбұрыштың мына түрдегі жіктеуі дұрыс па?
9-сурет.
Жіктеудің қандай ережелері сақталмай тұр? Мұндай жіктелу не үшін керек?
16. Кеңістіктегі екі түзудің өзара орналасуының мүмкін болатын жағдайларын қарастыр. Оларды жіктеудің негізіне қандай белгілер алынып отыр? Жіктеудің бұл түрі не деп аталады?
17. Кеңістікте түзу мен жазыктықтың өзара орналасу жағдайларын жіктеу барысында қандай белгілер негізге алынады? Жіктеудің бұл түрі не деп аталынады? Сәйкес кесте жасап, әрбір жағдайлар үшін нақты мысалдар келтір.
18. Элементар функциялардың жіктеуі төмендегі сызба түрінде берілген.
Бұлардың жіктеу негізі үшін қандай белгілер алынған? Әрбір функциялар үшін нақты мысалдар келтір.
10-сурет.
19. Төмендегі ұғымдар тізбегінде жіктеу ережелері сақталып тұр ма? Сақталмаған жағдайда, қандай қателер бар?
а) Теңдеулер белгісіздің дәреже көрсеткішіне байланысты сызықтык (бірінші дәрежелі), (квадрат), (екінші дәрежелі) үшінші дәрежелі т.с.с. болып бөлінеді.
ә) Натурал сандар жұп және тақ сандар болып ажыратылады
б) Бүтін сандар оң және теріс сандар болып бөлінеді
в) Нақты сандар рационал, бүтін және натурал сандар болып ажыратылады.
г) Функциялар сызықтық, квадрат, жұп және тақ болып бөлінеді.
д) Параллелепипед тікбұрышты, тік, көлбеу параллелепипедтер болып жіктеледі.
Сұрақтар:
1.Математикалық ұғым;
2. Мазмұны мен көлемі;
3.Ұғымның тегі мен түрлік ерекшелігі қандай?
4. Математикалық ұғымдарды анықтау.
5.Ең жақын тегі және түрлік ерекшеліктері арқылы анықтау.
6.Генетикалық және аксиоматикалық щалай анықталады.
7.Математикалық ұғымды бөлу және жіктеме.
Пайданылған әдебиеттер
1.Әбілқасымова А. және т.б. Математиканы оқытудың териясы мен әдістемесі. А, Білім. 1998 ж
2. Бидосов Ә. Математиканы оқыту методикасы. (Жалпы методика). А, Мектеп. 1989ж
3. Рахымбек Д. және т.б. Орта мектепте математиканы оқыту әдістемесіне арналған оқу құралы. Ш, 2003