Векторный базис на плоскости и в пространстве.

Определение 1.Линейной комбинацией векторов , , называется сумма произведений этих векторов на какие-нибудь числа , , : + + .

Определение 2.Векторным базисом в данной плоскости называется любая пара неколлинеарных векторов и этой плоскости.

Вектор называют при этом первым базисным вектором, вектор -вторым.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если базис , –векторный базис в плоскости, тогда любой вектор этой плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов : = х +у . (*)

Определение 3.Равенство(*) называют разложением вектора по базису , , а числа х и у –координатами вектора в базисе , ( или относительно базиса , ). Если заранее ясно, о каком базисе идет речь, то пишут кратко: ={x,y}. Из определения координат вектора относительно базиса следует, что равные векторы имеют соответственно равные координаты.

Два и более векторов в пространстве называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости или лежат в этой плоскости.

Определение 4.Векторным базисом в пространстве называют любые три вектора , , .

Вектор называют при этом первым базисным вектором, - вторым, -третьим.

Замечание. 1. Три вектора = { }, = { } и = { } образуют базис пространства, если определитель, составленный из их координат, отличен от нуля :

.

2. Основные положения теории определителей и способы их вычисления рассмотрены в модуле 1 «линейная алгебра».

Теорема 2.Пусть , , - векторный базис в пространстве. Тогда любой вектор в пространстве может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов , и :

= х +у +z . (**)

Определение 5.Равенство (**) называют разложением вектора по базису , , , а числа x,y,z–координатами (компонентами) вектора в базисе , , .

Если заранее ясно, о каком базисе идет речь, то пишут кратко: = {x,y,z}.

Определение 6.Базис , , называется ортонормированным, если векторы , , попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения , , .