Алгебраические критерии устойчивости

Определение и условия устойчивости.

Еслина систему управления действует двавнешних воздейст­вия — задающее воздействие g, — то в общем случае она описывается уравнением

а0x(n) +a1x(n-1) + ... + аnx = b0g(m) + b1g (m-1) + ... + bmg (1)

Основное условие устойчивости. Для того чтобы сис­тема управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть.

На комплексной плоскости корни, имеющие отрицательную ве­щественную часть, располагаются в левой полуплоскости и поэтому называются левыми; корни, имеющие положительную вещественную часть, располагаются в правой полуплоскости и называются правыми; а корни, расположенные на мнимой оси, называются нейтральными.

Таким образом, основное условие устойчивости можно также сфор­мулировать следующим образом: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни характе­ристического уравнения (нули характеристического полинома) были левыми.

Согласно основному условию устойчивости определение устойчи­вости сводится к исследованию корней характеристического уравне­ния. Однако для этого нет необходимости вычислять эти корни. Существуют различные критерии устойчивости, которые позволяют судить о том, находятся ли корни полинома в левой полуплоскости, не вычисляя их.

Необходимое условие устойчивости.Для того чтобы
система была устойчива, необходимо, чтобы все коэффициенты ее
характеристического уравнения были строго одного знака:

a0 > 0, а1 > 0, ..., an > 0 (2)

или

а0 < О, а1 < О, ..., ап < 0. (3)

Если условие (2) или (3) не выполняется, то система не­устойчива; если оно выполняется, система может быть устойчивой.

Алгебраическими критериями устойчивости называются такие условия, составленные из коэффициентов характеристического урав­нения, при выполнении которых система устойчива, а при невыпол­нении — неустойчива.

При проведении исследования устойчивости с помощью алгебраи­ческих критериев следует прежде всего проверить выполнение не­обходимого условия устойчивости, так как его проверка не требует никаких вычислений, и в то же время при его невыполнении не надо проводить дальнейших исследований, так как становится известным, что система неустойчива.

Характеристическое уравнение.Для того чтобы иссле­довать устойчивость с помощью алгебраических критериев, необхо­димо иметь характеристический полином. Рассмотрим, как он опре­деляется.

Характеристический полином Q(λ) получа­ется из собственного оператора Q(p) простой заменой оператора р на комплексную переменную λ. Поэтому достаточно найти собственный оператор.

Если дано уравнение системы управления, и оно записано в сим­волической форме, то дифференциальный оператор при выходной пе­ременной и будет собственным оператором. Если дана передаточная функция, то можно принять, что собственный оператор совпадает с ее знаменателем.

При исследовании замкнутой системы (рис. 1а) нет необходи­мости находить ее передаточную функцию, если известна передаточная функция W(p) = R(p)/S(p) разомкнутой системы (рис. 1б). Ее собственный оператор Q(p) равен сумме полиномов числителя и зна­менателя передаточной функции разомкнутой системы:

Рис. 1.

Q(p) = R(p) + S(p).

Критерий Гурвица.Из коэффициентов характеристичес­кого полинома

составляется определитель n-го порядка который строится следующим образом:

,

 

На главной диагонали выпи­сываются элементы a1,a2,... ,ап. Затем при движении от этих эле­ментов вверх размещаются коэффициенты в порядке возрастания ин­дексов, при движении вниз — в порядке убывания. Например, при построении i-го столбца, двигаясь от элемента аi вверх, записыва­ют коэффициенты аi+1,ai+2, …, двигаясь вниз, записывают коэффи­циенты ai-1, ai-2, … При этом, если индекс превышает п или при­нимает отрицательное значение, соответствующий коэффициент принимают равным нулю.

Главные миноры определителя ∆п

включая сам определитель ∆ называют определителями Гурвица.

Критерий Гурвица (Hurwitz, 1895). Для того чтобы систе­ма была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определители Гурвица, составленные из коэффициентов ее характеристического уравнения, при а0> 0 были больше нуля:

а0 > 0, ∆1> 0, ∆2> 0, ..., ∆n > 0.

Критерий Льенара-Шипара.Как отмечалось выше, при исследовании устойчивости с помощью алгебраических крите­риев нужно прежде всего проверить необходимое условие устойчивости. Если необходимое условие устойчивости выполняется, то ока­зывается, что для определения устойчивости, нет необходимости вычислять все определители Гурвица.

Критерий Льенара-Шипара (Lienard, Chipard, 1914). При выполнении необходимого условия устойчивости (а0 > 0, а1 > 0, ... ..., ап > 0) для устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы все ее определители Гурвица с четными индек­сами или все ее определители Гурвица с нечетными индексами были положительными:

∆2 > 0, ∆4 > 0, ∆4 > 0, ... (4)

или

∆3>0, ∆5>0, ∆5>0, ... (5)

Для уменьшения вычислений целесообразно при нечетном п ис­пользовать условие (4), а при четном п — условие (5)

Здесь приведена несколько упрощенная формулировка критерия Льенара-Шипара. При выполнении одного из условий (4) или (5) не все неравенства в необходимом условии устойчивости оказывают­ся независимыми. Поэтому часть неравенств можно опустить. Но так как проверка необходимого условия устойчивости не связана с вычис­лением, на этом мы останавливаться не будем.

Выпишем необходимые и достаточные условия устойчивости для п = 1,2, 3. Из критерия Льенара-Шипара получаем:

п = 1 : а0> 0, а1> 0;

п = 2 : а0> 0, a1>0, а2>0;

п =3 : а0> 0, a1>0, а2 > 0, а3 > 0, ∆2= a1a2-a0a3>0

Отсюда следует, что при п = 1 и п = 2 необходимое условие устойчивости является и достаточным. Однако уже при п = 3 для устойчивости, кроме выполнения необходимого условия устойчивос­ти, нужно, чтобы была положительной разность между произведения­ми средних и крайних коэффициентов.

Пример 1. Передаточная функция разомкнутой системы

; к = 0,5; к = 2.

Исследовать устойчивость разомкнутой и замкнутой систем.

Решение. Характеристический полином разомкнутой системы λ3+0,5λ2+4λ+1. Все коэффициенты больше нуля и определи­тель

∆2=0,5•4-1• 1=1>0. Поэтому разомкнутая система ус­тойчива.

Характеристический полином замкнутой системы

Q(λ) = λ3 + 0,5λ2+4λ+ l + k

Все коэффициенты этого полинома при обоих значениях к положи­тельны, а определитель ∆2 при к = 0,5 равен

а при к = 2

∆2 =0,5*4-1*3=-1<0.

Следовательно, замкнутая система при к = 0,5 устойчива, а при к = 2 неустойчива.

Пример 2. Передаточная функция разомкнутой системы

, 2.

Исследовать устойчивость разомкнутой и замкнутой систем.

Решение. Характеристический полином разомкнутой системы λ3 + λ2 + λ. Его коэффициенты a0=1, a1=1, а2=1 и а3=0. Необходимое условие устойчивости не выполняется, и поэтому разо­мкнутая система неустойчива.

Характеристический полином замкнутой системы

Q(λ) = λ3 + λ2 + λ + к.

Все коэффициенты при обоих значениях к положительны, определи­тель ∆2 при к = 0,5 равен

∆2 = 1*1-1*1,5 = 0,5 > 0,

а при к = 2

∆2 = 1*1-1*2 = -1<0.

Следовательно, замкнутая система при к = 0,5 устойчива, а при к = 2 неустойчива.

Из рассмотренных примеров следует, что разомкнутая система мо­жет быть устойчивой, а замкнутая система неустойчивой, и наоборот. Кроме того, устойчивость замкнутых систем зависит от передаточно­го коэффициента разомкнутой системы.

Пример 3. Исследовать устойчивость системы, у которой ха­рактеристический полином имеет вид

Q(λ) = 0,5 λ4 + Зλ3 + 2λ2 + 2λ + 1.

Решение. В данном случае п = 4 — четное число. Необходимое условие устойчивости выполняется: все коэффициенты а0 = 0,5, a1 = 3, а2 = 2, а3 = 2, а4 = 1 положительны. В соответствии с условием (5) достаточно вычислить определитель ∆3:

Пример 4. Изображение дифференциального уравнения системы имеет вид

[(T0p+1) (T1p+1)( T2p+1)+k0kp=(T1p+1)( T2p+1)g(t)]

Параметры имеют значения: Т0 = 0,02 сек, T1 = 0,01 сек, Т2 = 0,05 сек, k0= 20, kp = 0,2. Оценить устойчивость системы.

Решение. В соответствии с дифференциальным урав­нением запишем характеристическое уравнение в виде

a0λ3+a1λ2+a2λ+a3=0,

где:

a0 = T0T1T2 = 10-5, a1 = T0T1+T0T2+T1T2 = 1,7•10-3,

a2 =T0+T1+T2= 8•10-2, a3 = 1+k0kp =5.

Применяя критерий устойчивости Льенара-Шипара, имеем при всех положительных коэффициентах следующие соотношения:

a0>0, a1>0, a2>0, a3>0,

a1, a2 = 1,7•10-3•8•10-2 = 1,36•10-4,

a0, a3 = 10-5•5 = 0,5•10-4.

Отсюда следует, что

a1, a2 > a0 a3,

то есть, система устойчива.

Пример 5. Дано характеристическое уравнение автоматической системы четвертого порядка

a0λ3+ a1λ3+ a2λ2+a3λ + a4=0

Коэффициенты уравнения имеют значения:

a0 = 2 • 10-9,

a1 = 2 • 10-5,

a2 = 3 • 10-3,

a3 = 1,3•10-1,

a4 = 100.

Определить устойчивость системы.

Решение. Применяя критерий устойчивости Гурвица, проверим, будут ли положительными определители матрицы из коэффициентов характеристического уравнения

 

Вычисляя определители, получаем:

∆1= а1 = 2 • 10-5>0

=

 

= a1a2 – a0a3 = 2 • 10-5 • 3 • 10-3 –2 • 10-9•1,3 • 10-1 = 6 • 10-8– 0,026 •10-8>0

 

=

 

= a1a2a3 – a4a12 – a0a32= 2 • 10-5 • 3 • 10-3 • 1,3 • 10-1 – 100 • 2 • 10-5 • 2 • 10-5 –2 • 10-9•1,3•10-1•1,3•10-1 = –3,2234•108<0

 

и, следовательно, система неустойчива.

Следует иметь в виду, что определитель ∆2 входит мно­жителем в положительную часть определителя ∆3 и послед­ний может быть положительным при а3>0, только когда ∆2>0.

Поэтому для системы четвертого порядка проверка положительности ∆2 является излишней. Также является излишней проверка положительности последнего ∆n определи­теля для системы любого порядка, так как ∆n = аn ∆n-1 и при an > 0 достаточно проверить положительность всех опре­делителей до ∆n-1.

Поэтому при положительных коэффици­ентах характеристического уравнения для системы четвертого порядка достаточно проверить выполнение неравенства

a1a2a3– a4a12 – a0а32 >0.

Для системы пятого порядка при положительных коэф­фициентах необходимо выполнение двух неравенств:

a1a2-a0a3>0,

(a1a2-a0a3) (a3a4-a2a5) - (a1a4 - a0a5)2 >0.