Задания

1. Найти базис, ранг системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису (упражнение 1 и 2).

2. Найти базис системы векторов А1, А2, А3, А4, А5 (или А1, А2, А3, А4 в зависимости от варианта), содержащий векторы А2 и А3, и все векторы разложить по базису (упражнение 3).

3. Доказать, что линейно зависимая система ненулевых векторов содержит два различных базиса.

4. Установить, что если система ненулевых векторов имеет только один базис, то она линейно независима.

5. Вектор А1 разлагается по остальным векторам системы А1, А2, …, Аn, которая не содержит нулевых векторов. Доказать, что система А1, А2, …, Аn обладает базисом, который не содержит вектора А1.

6. Дана система векторов А1=(1,1,0,0), А2=(1,0,1,0), А3=(1,0,0,1), А4=(0,1,1,0), А5=(0,1,0,1), А6=(0,0,1,1). Найти ранг и базис системы векторов, содержащий векторы А1 и А2, а затем перейти к другому базису, у которого единственными общими векторами с первым базисом являются векторы А1 и А2.

7. Найти все базисы системы векторов А1=(1,0,0), А2=(1,0,1), А3=(0,-1,1), А4=(1,-1,1).

8. Доказать, что ранг системы А1+В1, …, Аn+Вn не превосходит ранга системы векторов А1, …, Аn, B1, …, Bn.

9. Найти ранг следующих систем векторов:

а) А1=(2,1,1), А2=(2,2,-2), А3=(1,0,2);

б) А1=(1,1,2), А2=(1,2,-1), А3=(2,2,1);

в) А1=(1,2,3,1), А2=(2,0,2,0), А3=(3,2,5,1), А4=(1,0,1,-2);

г) А1=(0,-2,-1,4), А2=(2,0,-3,1), А3=(1,3,0,-2), А4=(-4,-1,2,0);

Упражнения 1, 2, 3 выполняются по вариантам, остальные – без вариантов. Таблица 3

№ варианта	Векторы
Упражнение 1 Векторы А1, А2, А3, А4 (столбцы)	Упражнение 2 Векторы А1, А2, А3, А4 (столбцы)	Упражнение 3 Векторы А1, А2, А3, А4, А5 (столбцы)
1.	1 3 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2	1 -2 3 -4 0 1 -1 1 1 3 0 -3 0 -7 3 1	3 3 3 -3 6 2 -1 5 -11 -17 -5 3 -13 29 46 4 -3 11 -25 -41
	2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2	2 3 1 11 2 -1 1 3 7 2 3 22 -1 4 1 4	-1 1 0 -3 1 0 -1 2 -1 1 -4 -2 6 3 4 -7 -4 -2 4 2
	1 1 3 -3 1 -1 4 5 1 4 -1 5	2 1 1 -5 1 2 1 0 -1 1 2 3 1 -1 1 -6	1 1 1 1 1 3 2 1 -3 0 0 0 2 6 -2 5 4 3 1 2

Продолжение таблицы 3

	1 0 1 2 1 1 1 1 2 2 0 -4	1 -1 2 -7 2 1 -1 2 1 1 0 1 0 1 -1 4	1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 2 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1
	-1 0 2 2 -1 1 2 1 -2 2 0 -4	1 3 -1 -2 2 1 0 -5 -1 1 1 -4 -2 1 -1 -1	1 2 0 1 0 1 1 1 1 0 0 3 -1 0 0 1 1 -1 0 1
	1 -1 3 -3 -1 -1 4 5 4 -1 -1 5	-1 -1 -2 3 2 0 -5 17 -7 1 -4 7 -3 -1 -1 -2	1 -1 2 1 -2 2 1 -1 -1 9 1 1 0 3 8 0 1 -1 7 11
	2 3 2 10 4 2 1 1 4 2 2 -2	1 -1 2 -7 -1 -1 -1 1 3 1 0 -1 7 1 -1 -3	2 1 1 3 3 -1 -1 7 5 2 1 8 -4 3 -2 -11 1 5 3 -3
	2 -3 3 1 1 -1 6 1 2 -2 3 2	-2 3 -4 24 1 -1 1 -7 3 0 -3 9 -7 3 1 9	-1 2 2 3 3 1 3 -2 7 -8 -2 5 2 8 4 -3 -4 -4 -11 14 -5 1 6 -3 22
	3 1 1 3 4 1 -1 5 -1 1 4 5	3 -4 -4 1 -1 2 1 2 0 6 -3 21 3 -14 1 -34	1 2 1 1 2 8 2 -1 -1 -1 1 6 1 1 2 3 -3 1 -2 3 -1 -1 1 2 1 2 3 7 -2 6
	3 1 1 3 4 1 -1 5 -1 1 4 5	3 -4 -4 1 -1 2 1 2 0 6 -3 21 3 -14 1 -34	1 2 1 1 2 8 2 -1 -1 -1 1 6 1 1 2 3 -3 1 -2 3 -1 -1 1 2 1 2 3 7 -2 6
	-1 2 1 0 -1 1 1 1 -2 -2 0 2	-4 3 -4 5 1 -1 2 0 -3 0 6 15 1 3 -14 -20	2 1 -1 6 1 2 -1 5 -1 1 -2 -5 1 -1 -1 -1
	6 -3 2 2 3 -2 -4 1 6 -2 5 2	-2 3 4 -17 1 -1 -1 5 3 0 3 -6 -7 3 -1 -7	1 2 1 3 2 -1 -1 6 1 1 2 3 -2 3 -1 -6 1 2 3 3

 

Окончание таблицы 3

	3 1 3 1 4 1 5 -1 -1 1 5 4	-4 -2 3 1 1 1 -1 1 -3 3 0 12 1 -7 3 -19	1 2 1 9 2 -1 -1 2 1 1 2 9 -2 3 -1 -2 1 2 3 13

 

10. Дана ортогональная система векторов

А1=(1,1,1,1), А2=(1,-1,-1,1), А3=(1,-1,1,-1).

Выяснить, разлагается ли вектор В по системе А1, А2, А3.

а) В=(2,0,4,-2);

б) В=(2,1,-1,2).

11. Найти ортогональную составляющую вектора В относительно ортогональной системы векторов А1, А2, А3 (упражнение 4)

12. Применяя ортогонализацию, построить ортогональную систему векторов (упражнение 5):

а) А1=(1,2,1,3), А2=(4,1,1,1), А3=(3,1,1,0);

б) А1=(1,2,2,-1), А2=(1,1,-5,3), А3=(3,2,8,-7);

в) А1=(1,1,-1,-2), А2=(5,8,-2,-3), А3=(3,9,3,8);

г) А1=(2,1,3,-1), А2=(7,4,3,-3), А3=(1,1,-6,0), А4=(5,7,7,8);

Упражнения 4, 5 выполняются по вариантам, остальные – без вариантов. Таблица 4

№ варианта	Векторы
Упражнение 4	Упражнение 5 Векторы А1, А2, …, An (столбцы)
Векторы А1, А2, А3 (столбцы)	Вектор B
1.	1 2 2 2 -1 0 3 1 -1 -1 3 -1		1 4 3 2 1 1 1 1 1 3 1 0
2.	-1 -5	1 1 3 2 1 2 2 -5 8 -1 3 -7

 

 

Продолжение таблицы 4

3.	1 2 2 2 -1 0 3 1 -1 -1 3 -1	-3 -1	1 5 3 1 8 9 -1 -2 3 -2 -3 8
4.	-2	2 7 1 5 1 4 1 7 3 3 -6 7 -1 -3 0 8
5.	1 2 2 2 3 -1 2 -3 -1 -1 2 -2	-1	2 -1 2 13 8 1 -5 6 -5 4 1 1 1 5 8 -9
6.	-4	2 0 0 2 2 0 0 0 2
7.	-1 -1 -6	1 5 3 1 -8 9 -1 -2 3 2 -3 8
8.	-1 -6 -3	1 -1 2 3 2 1 -1 2 -1 2 1 1 1 5 8 -5
9.	1 -1 1 0 1 1 1 1 -1 0 1 1	-2 -12 -6	4 4 3 2 1 -1 -8 3 -2 3 1 0
10.	-4	5 4 3 11 -6 7 -8 2 2 1 -1 1
11.	-4 -7	4 -1 4 -2 1 -2 23 8 8 -1 6 0
12.	-3	0 5 3 1 -1 -9 3 0 -1 2 4 4

 

Окончание таблицы 4

13.	-1 1 -1 0 1 1 1 1 -1 0 -1 -1	-1	6 -1 2 13 0 3 5 6 -1 -4 0 1 1 1 -1 -1
14.	-2 -1 -7	2 7 1 -1 -1 1 1 -1 2 0 6 -6 -4 -3 0 0
15.	-2 -3	5 4 9 1 -3 -2 -4 2 -2 1 -1 1

 

Ранг, транспонирование и след матрицы