Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта

Дана линейно независимая система векторов

b₁, b₂,…, b_l, a_l+1,…, a_n l ≥ 1 (1)

часть, которой ортогональна, обозначим b_l+1 ортогональную составляющую вектора а_l+1 относительно ортогональной системы b₁, …, b_l. .

Тогда

1. Система векторов

b₁, b₂, …, b_l, b_l+1, a_l+2, …, a_n (2)

эквивалентна (1).

2. Система векторов (2) линейно независима, а ее часть b₁, b₂ …, b_l+1 – ортогональна.

Используя, понятие ортогональной составляющей, опишем процесс превращения линейно независимой системы а₁, …, а_n в ортогональную систему b₁, …, b_n ненулевых векторов, который называется ортогонализацией системы а₁, …, а_n.

Этот процесс состоит из n–шагов, n–число векторов в исходной системе а₁, …, а_n.

1 шаг. Полагаем b₁=a₁ и получаем систему

b₁, a₂, …, a_n (3)

2 шаг. Заменим в системе (3) вектор а₂ ортогональной составляющей относительно b₁, и получим систему:

b₁, b₂, a₃,…, a_n (4)

Согласно шагам ортогонализации система (4) линейно независима, а ее часть b₁, b₂–ортогональна.

Предположим, что уже построена линейно независимая система

b₁, b₂, …, b_k-1, a_k,…, a_{n ,} (5)

у которой b₁, b₂, …, b_k-1 – ортогональны.

На к-том шаге к = 3, n заменим в системе (5) вектор а_к его ортогональной составляющей относительно системы b₁, b₂, …, b_k-1 и получим систему b₁, …,b_k, a_k+1, …, a_n.

После выполнения n–го шага получим линейно независимую и ортогональную систему векторов b₁, …, b_n.

Замечание. Если исходная система а_1, …, а_n ортогональна, то ортогонализация не изменит ее.

Пример. Подвергнуть ортогонализации независимую систему векторов

а₁=(2, 0, 1, 1); а₂=(1, 2, 0, 1; а₃=(0, 1, -2, 0)

Теорема. Если вектор b разлагается по ортогональной системе a₁, a₂, …, a_n ненулевых векторов,

,

то коэффициенты разложения могут быть рассчитаны так:

, .