Базисы системы векторов
Базисом системы векторов a1, a2, …, an называется такая ее часть b1, b2, …, br (каждый из векторов br является одним из векторов a1, a2, …, an), которая удовлетворяет следующим условиям:
1) b1, b2, …, br – линейно независимая система векторов;
2) любой вектор системы a1, a2, …, an разлагается по векторам b1, b2, …, br.
Замечание 1.
В линейном пространстве, вообще говоря, бесконечное множество базисов, но если пространство n-мерное, то число векторов в каждом базисе одно и то же и равно n.
Замечание 2.
Если к любому базису добавить ненулевой вектор, то мы получим уже линейно зависимую систему.
Замечание 3.
Если диагональная система векторов является частью системы m–мерных векторов a1, a2,…,an, то диагональная система является базисом системы векторов.
Замечание 4.
Каждую линейно независимую часть a1, a2, …, aк системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.
Замечание 5.
Каждый вектор системы a1, a2, …, an единственным образом разлагается по векторам ее базиса.
Теорема.Пусть дана система векторов a1, a2,…, an.
Рассмотрим систему уравнений
a1x1+a2x2+…+anxn=0
и ее общее решение
a1'x1+a2'x2 +…+an'xn=0.
Тогда:
1) векторы, соответствующие диагональной части системы a1', a2', …, an', образуют базис системы векторов a1, a2, …, an.
2) вектор aj разлагается по найденному в первом пункте базису с теми же координатами, с которыми вектор aj' разлагается по диагональной части системы a1', a2', …, an'.
Данная теорема позволяет сформулировать алгоритм построения базиса данной системы векторов a1, a2,…, an:
1) выписать систему уравнений
a1x1+a2x2+…+anxn=0
и методом Гаусса найти ее общее решение
a1'x1+a2'x2 +…+an'xn=0;
2) найти диагональную часть системы векторов a1', a2', …, an';
3) векторы системы a1, a2, …, an, соответствующие диагональной части системы a1', a2', …, an', образуют базис данной системы векторов a1, a2, …, an.
Пример. Найти базис системы векторов
a1 = (1, 1, 2), a2 = (3, 1, 2), a3 = (1, 2, 1), a4 = (2, 1, 2)
и все векторы разложить по базису.
Рассмотрим систему уравнений
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 = 0
и методом Гаусса найдём её решение
|
| x1 | x2 | x3 | x4 | ||
  2
| |||||
 1
| |||||
| -2 | -1 | ||||
| -4 | -1 | -2 | |||
 2
| |||||
| -0.5 | 
| ||||
| -4 | -1 | -2 | |||
| 2.5 | 0.5 | ||||
| -0.5 | 0.5 | ||||
| -3 | |||||
| 2.5 |  0.5
| ||||
| -0.5 |  0.5
| ||||
| |||||
| 0.5 | |||||
| 0.5 | |||||
Общее решение системы имеет вид:
a1'x1+a2'x2 +a3'x3+a4'x4=0,
; 
; 
; 
,
где a'1, a'2 и a'3 образуют диагональную систему векторов, следовательно, a1, a2 и a3 являются базисом системы векторов a1, a2, a3, a4.
Разложим теперь a4 по базису a1, a2, a3.
Для этого сначала разложим соответствующий вектор a'4 по диагональной системе a'1, a'2, a'3, имея в виду, что коэффициентами разложения векторов по диагональной системе являются их координаты:
Вектор a4 разлагается по базису a1, a2 и a3 с теми же коэффициентами, что и вектор a'4.
a4=0,5 a1+0,5 a2+0 a3.
Вектор a'1 разлагается по диагональной системе a'1, a'2, a'3 следующим образом
a¢1=1 a¢1+0 a¢2+0 a¢3
Вектор a1 разлагается по базису a1, a2 и a3 с теми же коэффициентами, что и вектор a'1.
a1=1 a1+0 a2+0 a3
Векторы a2, и a3 разлагаются аналогично.
Пример. Найти базис системы векторов
a1 = (5, 2, -3, 1); a2 = (4, 1, -2, 9); a3 = (1, 1, -1, 2);
a4 = (3, 4, -1, 2); a5=(13, 8, -7, 4)
и все векторы, не вошедшие в базис, разложить по базису.
Рассмотрим систему уравнений
a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 = 0
и методом Гаусса найдём её решение
 | |||||
 | |||||
 | |||||
| X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | ||
| ||||||
| -3 | -2 | -1 | -1 | -7 | ||
| -2 | ||||||
| -3 | -3 | -5 | ||||
  0
| -1 | -2 | -2 | |||
 1
| ||||||
| -3 | -3 | |||||
| -1 | ||||||
| ||||||
Так как после выполнения преобразований система не содержит 4 уравнения, она является разрешенной.
Общее решение системы имеет вид:
a1'x1+a2'x2 +a3'x3+a4'x4+a5'x5=0,
где
; 
; 
; 
; 
где a'1, a'3 и a'4 образуют диагональную систему векторов, следовательно, a1, a3 и a4 являются базисом векторов a1, a2, a3, a4, a5.
Разложим теперь a2 и a5 по базису a1, a3, a4.
Для этого сначала разложим соответствующие вектора a'2 и a'5 по диагональной системе a'1, a'3, a'4, имея в виду, что коэффициентами разложения векторов по диагональной системе являются их координаты:
Вектора a2 и a5 разлагается по базису a1, a2 и a4 с теми же коэффициентами, что и вектора a'2 и a'5.
a2=a1–a3; a5=2a1+a4