Шесть функций денежной единицы.

Суть оценки стоимости приносящего прибыль проекта состоит в том, что определяется текущая стоимость прибыли, которая будет получена в прогнозируемом периоде. Гривна, полученная завтра, стоит меньше, чем гривна полученная сегодня. Это обусловлено тем, что деньги со временем приносят доход; а во-вторых - инфляционные процессы обесценивают деньги. В связи с этим рассмотрим шесть функций денежной единицы, которые отражают текущую стоимость денег.

Первая (прямая) функция. Накопление суммы денежной единицы: будущая стоимость денежной единицы.

При расчете будущей стоимости денежной единицы используется обычная формула сложного процента, которая позволяет рассчитывать и учитывать процент на вложенный процент:

, где

– депозитная сумма после t периодов, если вложен 1 долл.; 1 – один доллар; i – периодическая ставка процента; t – число периодов.

Существую специальные таблицы шести функций денежной единицы, содержащие предварительно рассчитанные элементы (отдельные множители) сложного процента, но можно рассчитывать их и самим.

На рис. 9.1 представлена диаграмма возрастания во времени текущей стоимости, положенной на депозит, по сложному проценту.

 

       
   
 
 
Рис.9.1 Возрастание по сложному проценту текущей стоимости, положенной на депозит

 

 


Данные о накопленной сумме в 1 доллар по сложному проценту при ставке 10% и ежегодном накоплении.

Год (t) Накопленная сумма (St) Год (t) Накопленная сумма (St)
1,10 1,9487
1,21 2,1436
1,331 2,3579
1,4642 2,5937
1,6105 6,7275
1,7716 17,4494

Накопление денежных средств может происходить более часто, чем год: ежедневно. Ежемесячно, ежеквартально или каждое полугодие. При более частом накоплении денежных средств эффективная ставка снижается. Расчет производится по основной формуле сложного процента с определенной ее корректировкой: число лет (t), на протяжении которого происходит накопление, умножается на частоту накопления в течение года, а номинальная годовая ставка процента делится на частоту накопления.

Вторая (обратная) функция сложного процента: текущая стоимость денежной единицы.

Текущая стоимость денежной единицы (стоимость реверсии, V) – это величина, обратная накопленной сумме единицы:

Текущая стоимость денежной единицы – это текущая стоимость одного доллара, которая будет получена в будущем. Диаграмма текущей стоимости денежной единицы показана на рис. 9.2.

 
 

 


Коэффициент текущей стоимости денежной единицы используется для оценки текущей стоимости известного (или прогнозируемого) единовременного поступления денежных средств с учетом заданного процента (с учетом ставки дисконта).

Допустим, инвестору необходимо определить, сколько нужно заплатить сегодня за оцениваемое предприятие, чтобы получить от него доход в 10% годовых, а через 2 года его продать, например за 10 млн. долл. Если инвестор собирается получить 10% на вложенный капитал, то сумма, которую он может предложить за предприятие сегодня: млн. долл.

Механизм определения коэффициента текущей стоимости денежной единицы при годовой ставке дисконта 10%.

Год (t) Накопленная сумма (St) Обратная величина Текущая стоимость единицы (V)
1,10 1/1,10 0,9091
1,21 1/1,21 0,8264
1,331 1/1,331 0,7512
1,4642 1/1,4642 0,6830
1,6105 1/1,6105 0,6209

Третья (прямая) функция сложного процента: текущая стоимость единичного аннуитета.

Аннуитет (обычный) – серия равновеликих платежей, первый из которых осуществляется через один период, начиная с настоящего момента, то есть платеж производится в конце рассматриваемых периодов.

На рис.9.3 представлена диаграмма текущей стоимости обычного аннуитета, то есть текущая стоимость серии равновеликих платежей.


 

 
 

 


Такая ситуация может возникнуть, если собственник сдает активы предприятия в аренду и хочет получать ежегодную арендную плату в 100 тыс. долл. в течение следующих четырех лет. При 10% ставке дисконта текущая стоимость первого арендного платежа в 100 тыс. долл. через год равна 90,91 тыс. долл. (100 тыс. долл. * 0,9091=90, 91 тыс. долл.), второго арендного платежа – 82,64 тыс. долл. (100 тыс. долл. * 0,8264=82, 64 тыс. долл.), третьего арендного платежа – 75,13 тыс. долл., четвертого - 63,30 тыс. долл. Таким образом, текущая стоимость арендных платежей в 100 тыс. долл. в течение 4 последующих лет при ставке 10% составляет 316,98 тыс. долл.

Текущая стоимость аннуитета (at) может быть рассчитана как сумма текущих стоимостей 1 долл. за определенный период времени:

Для построения таблицы обычного аннуитета необходимо сложить данные текущей стоимости единицы за соответствующее число лет.

Если периодические платежи поступают чаще, чем один раз в год, номинальную (годовую) ставку процента необходимо разделить на число периодов в году. Общее число периодов равно числу лет, умноженному на число периодов в году.

Если собственник договаривается с арендатором о том, что он (арендатор) будет осуществлять равномерные авансовые платежи по следующей схеме: первый платеж немедленно после подписания контракта, а последующие равные платежи через определенный период, то такие платежи называются авансовым аннуитетом.

Четвертая (обратная) функция сложного процента: взнос на амортизацию денежной единицы.

Взнос на амортизацию денежной единицы – это регулярный периодический платеж в погашение кредита, приносящего процентный доход. Это величина, обратная текущей стоимости аннуитета.

Амортизация в данном случае – это погашение (возмещение, ликвидация) долга в течение определенного времени. Взнос на амортизацию кредита математически определяется как отношение одного платежа к первоначальной основной сумме кредита. Взнос на амортизацию единицы равен обязательному периодическому платежу по кредиту, включающему процент и выплату части основной суммы. Это позволяет погасить кредит и проценты по нему в течение установленного срока.

1 долл., ожидаемый к получению в конце каждого года на протяжении 4 лет, имеет при годовой ставке 10% текущую стоимость 3,1698. Это текущая стоимость аннуитета.

Величина взноса на амортизацию равна обратной величине текущей стоимости аннуитета, то есть взнос на амортизацию 1 долл. составляет величину, обратную 3,1698 долл.

Математическое отношение одного платежа к первоначальной основной сумме кредита составляет

Эта величина показывает размер периодического ежегодного платежа для погашения задолженности по кредиту 3,1698 долл. в течение 4 лет при ставке 10%.

Каждый взнос на амортизацию единицы включает процент и выплату части первоначальной основной суммы кредита. Соотношение этих составляющих изменяется с каждым платежом (рис. 9.4).

 

Рис.9.4 Взнос на амортизацию единицы

Для определения взноса на амортизацию денежной единицы используется следующая формула:

Пятая (прямая) функция сложного процента: накопление (рост) единицы за период - будущая стоимость аннуитета.

Фактор накопления единицы позволяет ответить на вопрос о том, какой по истечению всего срока будет стоимость серии равных взносов, депонированных в конце каждого из периодических интервалов.

Например, предприниматель хочет накопить определенную сумму для покупки нового станка. Станок стоит 4,641 долл. Он в конце каждого года откладывает на депозит по 1 долл., который приносит 105-ный годовой доход. К концу четвертого года он скапливает необходимую сумму (4,641 долл.) и покупает станок.

Расчет накопления единицы за период S(t,i) осуществляется по следующей формуле:


 

 


Рис.5 Накопление единицы за период

Шестая (обратная) функция сложного процента: фактор фонда возмещения.

Фактор фонда возмещения показывает сумму, которую нужно депонировать в конце каждого периода (периодический депозит), чтобы через заданное число периодов остаток на счете составил 1 долл. При этом учитывается процент, получаемый по депозитам.

Например, предпринимателю необходимо за четыре года скопить 4,641 долл. для покупки станка. Какие суммы денег ему необходимо откладывать каждый год при 10% годовых, чтобы через 4 года купить этот станок?

Ответ: ежегодный вклад должен составить 1 долл. (0,215471*4,641=1 долл.).

Фактор фонда возмещения – это величина обратная фактору накопления денежной единицы за период:

 
 

 

 

 


Рис.5 Фактор фонда возмещения

Взаимосвязи между функциями сложного процента.

Все шесть функций сложного процента строятся с использованием общей базовой формулы сложного процента (1+i)t, характеризующей накопленную сумму единицы. Все пять функций сложного процента являются производными от первой (прямой) функции сложного процента – накопленной функции единицы (будущая стоимость единицы). Каждая из функций предполагает, что деньги положенные на депозит, до тех пор, пока находятся на нем, приносят процент. В основу каждого фактора положен эффект сложного процента, при котором процент переводится в основную сумму (табл.9.2).


 

Таблица 9.2 Взаимосвязь между функциями сложного процента