МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

 

преп. Пантелеева Лейсан Ренатовна

 

Студенту необходимо выполнить письменную работу по одному из представленных билетов, содержащих два теоретических вопроса и одну задачу.

Номера билетов содержат одну ли две буквы русского алфавита. Студент выбирает тот номер билета, в котором одна из букв совпадает с начальной буквой его фамилии. Например, студент Петров должен выбрать билет № 13(О, П).

 

Билет 1 (А, Ю)

 

1. Понятие строго квазивыпуклой на отрезке функции. Понятие локального и глобального экстремумов. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции одной переменной.

2. Описать метод циклического покоординатного спуска с половинным дроблением шага. В чем его достоинства и недостатки?

3. Методами дихотомии и золотого сечения минимизировать функцию с точностью 0,1. На основе результатов провести сравнительный анализ методов.

 

Билет 2 (Б)

 

1. Дать постановку задачи одномерной оптимизации. Описать классический метод ее решения и указать его недостатки.

2. Описать схему градиентного метода. Какое свойство градиента лежит в основе градиентного метода?

3. Методом золотого сечения и методом Фибоначчи минимизировать функцию с точностью 0,1. На основе результатов провести сравнительный анализ методов.

 

Билет 3 (В)

 

1. Описать идею методов отсечений. Понятие отрезка локализации. Каким требованиям должно удовлетворять правило выбора точек измерения в методах отсечений?

2. Необходимые условия безусловного экстремума функции многих переменных. Теорема Вейерштрасса.

3. Методом проекции градиента решить задачу:

с точностью 0,1.

 

Билет 4 (Г)

 

1. Описать метод дихотомии, в чем его достоинства и недостатки.

2. Достаточные условия безусловного экстремума функции многих переменных.

3. Методом штрафных функций найти минимум функции при ограничении: , с точностью 0,1.

 

Билет 5 (Д)

 

1. Описать алгоритм метода дихотомии. Оценка погрешности решения.

2. Описать классический метод решения безусловной задачи многомерной оптимизации и указать его недостатки.

3. Методом штрафных функций найти минимум функции при ограничении: , с точностью 0,1.

 

Билет 6 (Е, Э)

 

1. Свойства золотого сечения. Описать метод золотого сечения. В чем его достоинства и недостатки?

2. Дать постановку задачи оптимизации функции многих переменных. В чем отличие условной оптимизации от безусловной оптимизации?

3. Выполнить вручную несколько итераций метода циклического покоординатного спуска и метода Зейделя для функции с начальной точкой , и решить данную задачу безусловной минимизации классическим методом.

 

Билет 7 (Ж, З)

 

1. Описать алгоритм метода золотого сечения. Оценка погрешности решения.

2. Описать метод наискорейшего спуска. В чем его достоинства и недостатки? Чем он отличается от градиентного метода с дроблением шага?

3. Пользуясь методами классического анализа, убедиться, что функция строго квазивыпукла на отрезке [1;3]. Найти точное решение задачи минимизации функции на заданном отрезке. Выполнить вручную несколько итераций одного (любого) из методов отсечений.

 

Билет 8 (И, Щ)

 

1. Числа Фибоначчи, их свойства. Описать метод Фибоначчи. В чем его достоинства и недостатки?

2. Функция Лагранжа. Матрица Якоби. Теорема Лагранжа.

3. Выполнить вручную несколько итераций метода циклического покоординатного спуска и метода Зейделя для функции с начальной точкой , и решить данную задачу безусловной минимизации классическим методом.

 

Билет 9 (К)

 

1. Описать алгоритм метода Фибоначчи. Оценка погрешности решения.

2. Описать метод множителей Лагранжа и указать его недостатки.

3. Выполнить вручную три итерации метода наискорейшего спуска для функции с начальной точкой , и решить данную задачу безусловной минимизации классическим методом.

 

Билет 10 (Л)

 

1. Описать метод минимизации функции одной переменной, являющейся строго квазивыпуклой на полупрямой В каком случае этот метод становится методом последовательного перебора?

2. Описать алгоритм метода проекции градиента, указать правило остановки алгоритма.

3. В конус, высота которого равна Н, вписан цилиндр. Чему должна быть равна высота цилиндра, чтобы площадь его боковой поверхности была минимальной.

 

Билет 11 (М)

1. Понятие липшицевой функции. Геометрический смысл постоянной Липшица. Перечислить правила отыскания постоянной Липшица.

2. Описать классический метод решения многомерных задач с ограничениями типа неравенства.

3. Методами дихотомии и золотого сечения минимизировать функцию с точностью 0,1. На основе результатов провести сравнительный анализ методов.

 

Билет 12 (Н)

 

1. Описать метод перебора на равномерной сетке применительно к липшицевой функции одной переменной. В чем его достоинства и недостатки?

2. Привести основные способы выбора величины итерационного шага для градиентного метода. Дать геометрическую интерпретацию метода наискорейшего спуска.

3. Пользуясь методами классического анализа, убедиться, что функция строго квазивыпукла на отрезке [0;2]. Найти точное решение задачи минимизации функции на заданном отрезке. Выполнить вручную несколько итераций одного (любого) из методов отсечений.

 

Билет 13 (О, П)

 

1. Понятие локального и глобального экстремумов. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции одной переменной.

2. Проекция точки на множество. Сформулировать основные свойства проекции. Привести примеры проектирования на брус, многогранник, шар и т.п.

3. Методом золотого сечения и методом Фибоначчи минимизировать функцию с точностью 0,1. На основе результатов провести сравнительный анализ методов.

 

Билет 14 (Р)

 

1. Дать постановку задачи одномерной оптимизации. Описать классический метод ее решения и указать его недостатки.

2. Привести основные способы выбора шага в методе проекции градиента.

3. Методами дихотомии и золотого сечения минимизировать функцию с точностью 0,1. На основе результатов провести сравнительный анализ методов.

 

Билет 15 (С)

 

1. Описать идею методов отсечений. Понятие отрезка локализации. Каким требованиям должно удовлетворять правило выбора точек измерения в методах отсечений?

2. Какова идея метода штрафных функций? Описать метод штрафных функций и указать его недостатки.

3. Убедиться, что функция является строго квазивыпуклой на полупрямой . Используя метод равномерного перебора, найти точку минимума с точностью 0,1. Сравнить полученный результат с точным решением, найденным классическим методом.

 

Билет 16 (Т)

 

1. Описать метод минимизации функции одной переменной, являющейся строго квазивыпуклой на полупрямой В каком случае этот метод становится методом последовательного перебора?

2. Привести основные способы построения штрафных функций.

3. Котел состоит из цилиндра, завершенного двумя полусферами. Определить размеры котла, чтобы при заданном объеме V его поверхность была наименьшей.

 

Билет 17 (У, Ф)

 

1. Понятие липшицевой функции. Геометрический смысл постоянной Липшица. Перечислить правила отыскания постоянной Липшица.

2. Описать метод циклического покоординатного спуска решения задачи условной минимизации, когда ограничения задаются в виде бруса. В чем его достоинства и недостатки?

3. Методом золотого сечения и методом Фибоначчи минимизировать функцию с точностью 0,1. На основе результатов провести сравнительный анализ методов.

 

Билет 18 (Х, Ц)

 

1. Описать метод перебора на равномерной сетке применительно к липшицевой функции одной переменной. Как определяется количество n участков, на которые необходимо разбить отрезок в этом методе?

2. Описать алгоритм метода случайного поиска (с возвратом при неудачном шаге).

3. Методом множителей Лагранжа найти экстремум функции при ограничениях .

Билет 19 (Ш)

 

1. Дать постановку задачи одномерной оптимизации. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции одной переменной.

2. Описать алгоритм метода случайного поиска (статистического градиента).

3. Классическими методами найти экстремумы функции

при ограничениях

 

Билет 20 (Я, Ч)

 

1. Перечислить методы одномерной минимизации, не использующие математический аппарат производной; их достоинства и недостатки.

2. Описать метод Зейделя. В чем его достоинства и недостатки? Чем он отличается от метода покоординатного спуска?

3. Выполнить вручную пять итераций градиентного метода (с дроблением шага) для функции с начальной точкой , и решить данную задачу безусловной минимизации классическим методом.

 

Рекомендуемая литература:

1. Методы оптимальных решений: учебно-методическое пособие / В.И. Заботин, Л.Р. Пантелеева. – Казань: Университет управления «ТИСБИ», 2012.

2. Методы оптимальных решений: программа, методические указания и задания экзаменационной и самостоятельной работы для студентов заочной формы обучения направления: 080100 «Экономика» / Л.Р. Пантелеева. – Казань: Университет управления «ТИСБИ», 2012.

3. Методы оптимизации и исследование операций. Часть 1. Методы оптимизации: учебное пособие / Е.А. Печеный, А.Н. Козин. - Казань: Университет управления «ТИСБИ», 2004.

4. Методы оптимизации: учебное пособие / В.А. Гончаров. – М.: Изд-во Юрайт; Высшее образование, 2010. – 191 с.