Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса

Обратной матрицей к матрице A называется матрица A^-1, для которой выполнено соотношение:

A A^-1 = E, (3.18)

где E - единичная матрица:

1 0 0 … 0

0 1 0 … 0

E = 0 0 1 … 0 . (3.19)

0 0 0 … 1

Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A 0. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной выше задаче решения системы уравнений.

Пусть A - квадратная невырожденная матрица порядка n:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a_1n

a₂₁ a₂₂a₂₃ … a_2n

A = a₃₁ a₃₂a₃₃ … a_3n

a_n1 a_n2 a_n3 … a_nn

и A^-1 - ее обратная матрица:

x₁₁ x₁₂ x₁₃ … x_1n

x₂₁ x₂₂x₂₃ … x_2n

A^-1= x₃₁ x₃₂x₃₃ … x_3n

x_n1 x_n2 x_n3 … x_nn

Используя соотношения (3.18), (3. 19) и правило умножения матриц, получим систему из n² уравнений с n² переменными x_ij, i, j = 1, 2, …, n. Чтобы получить первый столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на первый столбец матрицы A^-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу первого столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a₁₁x₁₁ + a₁₂x₂₁ + a₁₃x₃₁ + … + a_1nx_n1= 1

a₂₁x₁₁ + a₂₂x₂₁ + a₂₃x₃₁ + … + a_2nx_n1= 0

a₃₁x₁₁ + a₃₂x₂₁ + a₃₃x₃₁ + … + a_3nx_n1= 0 (3.20)

a_n1x₁₁ + a_n2x₂₁ + a_n3x₃₁ + … + a_nnx_n1= 0

Аналогично, чтобы получить второй столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на второй столбец матрицы A^-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу второго столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a₁₁x₁₂ + a₁₂x₂₂ + a₁₃x₃₂ + … + a_1nx_n2= 0

a₂₁x₁₂ + a₂₂x₂₂ + a₂₃x₃₂ + … + a_2nx_n2= 1

a₃₁x₁₂ + a₃₂x₂₂ + a₃₃x₃₂ + … + a_3nx_n2= 0(3.21)

a_n1x₁₂ + a_n2x₂₂ + a_n3x₃₂ + … + a_nnx_n2= 0

и т. д.

Всего таким образом получим n систем по n уравнений в каждой системе, причем все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются только свободными членами. Приведение матрицы A к треугольной по формулам (3.7) делается при этом только один раз. Затем по последней из формул (3.7) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.

 

Вычислим обратную матрицу A^-1 для матрицы

A = 1.8 -3.8 0.7 -3.7

0.7 2.1 -2.6 -2.8

7.3 8.1 1.7 -4.9

1.9 -4.3 -4.3 -4.7

По формулам (3.7) за три шага прямого хода преобразуем матрицу A в треугольную матрицу

1.8 -3.8 0.7 -3.7

0 3.57778 -2.87222 -1.36111

0 0 17.73577 19.04992

0 0 0 5.40155

Далее, применим процедуру обратного хода четыре раза для столбцов свободных членов, преобразованных по формулам (3.7) из столбцов единичной матрицы:

1 0 0 0

0 1 0 0

0 , 0 , 1 , 0

0 0 0 1

Каждый раз будем получать столбцы матрицы A^-1. Опустив промежуточные вычисления, приведем окончательный вид матрицы A^-1:

-0.21121 -0.46003 0.16248 0.26956

-0.03533 0.16873 0.01573 -0.08920

0.23030 0.04607 -0.00944 -0.19885 .

-0.29316 -0.38837 0.06128 0.18513