Метод Ньютона (метод касательных)

вать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

|x_n - x_{n - 1}| < . (2.18)

Пример 2.3.

Применим метод Ньютона для вычисления . где a > 0, p - натуральное число. Вычисление эквивалентно решению уравнения x^p = a. Таким образом, нужно найти корень уравнения f(x) = 0, f(x) = x^p - a, f (x) = px^{p - 1}. Итерационная формула метода (2.13) примет вид:

x_{n +1} = x_n - = x_n + . (2.19)

Используя формулу (2.19), найдем с точностью = 10^-3.

x_{n +1} = x_n + .

Простой корень уравнения x³ - 7 = 0 расположен на отрезке [1, 2]. Действительно, на концах отрезка [1, 2] функция f(x) = x³ - 7 принимает разные знаки, f (1) < 0, f (2) > 0. Кроме того, при x = 2 выполнено достаточное условие сходимости (2.16): f (2)f" (2)0.

Поэтому в качестве начального приближения можно взять x₀ = 2.

Результаты приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

n	xn
	0.8415 0.8861 0.8742 0.8774 0.8765