Геометрическое распределение – испытания до первого успеха

Пусть

Используя формулу для суммы членов бесконечной геометрической прогрессии покажите, что таким образом заданная функция является распределением

Распределение на пространстве натуральных чисел называется геометрическое распределение, если

Указанное распределение возникает в следующей вероятностной схеме, называемой схема испытаний до первого успеха.

Рассмотрим последовательность из независимых (с точки зрения здравого или физического смысла) опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие A (“успех”). Пусть нам известна вероятность p , того что событие А произойдет в одном опыте. Вероятность того, что в первый раз событие A произойдет в k – том опыте дается формулой

Действительно , первые k-1 опытов должны закончиться неудачей (вероятность неудачи 1-p ), а последнее, к-тое, успехом (вероятность p).

Заметим , что в данном случае, мы не строим вероятностное пространство, полностью описывающее схему испытаний до первого успеха. Причиной этого является то, что в качестве пространства элементарных исходов в этом случае естественно, по аналогии со схемой Бернулли, рассмотреть множество бесконечных двоичных последовательностей (ведь неизвестно, когда наступит первый успех). Однако, это множество несчетно и задать на нем вероятность, оставаясь в рамках данной главы, невозможно.