Множества мощности континуума.

теорема: множество действительных чисел, лежащих в интервале (0,1) не, не является счётным.

Доказательство:

Необходимо доказать, что между множеством действительных чисел и множеством натуральных чисел никаким способом нельзя установить взаимно-однозначного соответствия. Будем доказывать теорему методом от противного.

Предположим, что это взаимно-однозначное соответствие каким-либо способом установлено; тогда каждому действительному числу соответствует одно и только одно натуральное число, и, наоборот, каждому натуральному числу соответствует одно и только одно действительное. Так, некоторое действительное число соответствует числу 1- это десятичная дробь 0, α1α2...αn. Некоторое действительное число соответствует числу 2 – это дробь запишется в виде 0, β1β2β3...βn и т.д.

Теперь последовательно запишем действительные числа: сначала запишем число, соответствующее единице, затем число, соответствующее двум, затем число, соответствующее трём и т.д.

0, α1α2...αn 0, β1β2β3...βn 0, γ1γ2....γn

↓ ↓ ↓

1 2 3

Таким образом, выписаны все действительные числа, так как каждому действительному числу соответствует какое-либо натуральное число: в верхней строке содержатся все действительные числа из промежутка (0,1), а в нижней – все натуральные числа.

Построим теперь число 0, m1m2..mn… с помощью следующего закона.В качестве m1 возьмём натуральное число, лежащее между 0 и 9 и не равное α1, т.е. m1≠α1, 0<m1<9. Например, если α1=5, то в качестве m1 можно выбрать 6. В качестве m2 выберем целое число, удовлетворяющее неравенству 0≤m2<9 и отличное от β2, и т.д.:

m1≠α1, m2≠β2, m3≠γ3,…

0<m1<9,…0≤mk<9, k=2,3,…

Число 0, m1m2…mn.. не равно числу 0, α1α2...αn.., так как оно по построению отличается от него первым десятичным знаком. Число 0, m1m2…mn... отличается от числа 0, β1β2β3...βn вторым десятичным знаком. Число 0, m1m2…mn... отличается от числа 0, γ1γ2....γn третьим десятичным знаком и т.д. Вообще из построения следует, что число 0, m1m2…mn... отличается от каждого числа, стоящего в верхней строке, поэтому оно не находится среди чисел, стоящих в верхней строке. С другой стороны, число 0, m1m2…mn... – действительное число из промежутка (0,1), а в верхней строке стоят все действительные числа из этого промежутка. Значит, и число 0, m1m2…mn... должно находиться в верхней строке.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, между множеством действительных чисел на промежутке (0,1) и множеством натуральных чисел нельзя установить взаимно-однозначного соответствия, а это значит, что множество действительных чисел на промежутке (0.1) не является счётным.

 

Определение: Всякое множество, равномощное множеству действительных чисел, лежащих в интервале (0,1), является множеством мощности континуума.

Каждому числу из интервала (0,1) соответствует одна и только одна точка из этого интервала, и, наоборот, каждой точке из интервала (0,1) соответствует одно и только одно число из этого интервала. Следовательно, множество точек, лежащих в интервале (0,1), имеет мощность континуума.

Мы доказали, что между множествами точек, лежащих в интервале различной длины, можно установить взаимно-однозначное соответствие. Таким образом, множество точек любого интервала имеет мощность континуума.

Мы доказали, что множество точек на всей прямой и множество точек любого интервала равномощны. Таким образом, множество точек на всей прямой имеет мощность континуума, а из этого следует, что множество всех действительных чисел имеет мощность континуума.

Теория множеств позволила качественно различать бесконечные множества, выделив счётные множества и множества мощности континуума.