Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.

Равенство множеств.

Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Равенство множеств обозначают так: А = В.

Если множества не равны, то пишут А ¹ В.

Запись равенства двух множеств А = В эквивалентна записи А Ì В, или В Ì А.

Например, множество решений уравнения x² – 5x + 6 = 0содержит те же самые элементы (числа 2 и 3), что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны. (Простым числом называется натуральное число, которое делится без остатка только на 1 и на само себя; при этом 1 – простым числом не является.)

Пересечение (умножение) множеств.

Множество D, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В и обозначается D = А В.

Рассмотрим два множества: X = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4}. Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество {1, 3} содер­жит все общие для множеств Х и Y элементы. Таким образом, множество {1, 3} является пересечением рас­смотренных множеств Х и Y:

{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.

Для отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ пересечением, т. е. множеством, состоящим из общих элементов, является промежуток ]0; 1] (рис. 1).

 

Рис. 1. Пересечением отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ является промежуток ]0; 1]

 

Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.

Пересечение множества учеников восьмых классов данной школы и множества членов химического кружка той же школы есть мно­жество учеников восьмых клас­сов, являющихся членами хими­ческого кружка.

Пересечение множеств (и другие операции – см. ниже) хорошо иллюстрируется при наглядном изображении множеств на плоскости. Эйлер предложил для этого использовать круги. Изображение пересечения (выделено серым) множеств А и В при помощи кругов Эйлера представлено на рис. 2.

А В

Рис. 2. Изображение пересечения (выделено серым) множеств А и В

при помощи кругов Эйлера

 

Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума Венн предложил использовать круги и прямоугольники. При этом универсум представляется множеством всех точек некоторого прямоугольника, а его подмножества – соответствующими кругами. В дальнейшем такие схемы стали называть диаграммами Эйлера-Венна. Пересечение множеств (выделено серым) изображено на диаграмме рис. 3.

А В

 

Рис. 3. Диаграмма Эйлера-Венна пересечения (выделено серым) множеств А и В,

являющихся подмножествами некоторого универсума, изображённого в виде прямоугольника

 

Если множества А и В не имеют общих элементов, то гово­рят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество, и пишут А В = Æ.

Например, пересечение множества чётных чисел с множеством нечётных чисел пусто.

Пустым является и пересечение числовых промежутков ]-1; 0] и [2; +¥[ (рис. 4).

 

Рис. 4. Пересечение числовых промежутков ]-1; 0] и [2; +¥[

представляет собой пустое множество

 

Пересечение любого множества А с пустым множеством есть, очевидно, пустое множество: А Æ = Æ.

Можно рассматривать пересечение n множеств:

А = А_i = А₁ А₂ … А_n,

при этом в А входят только те элементы, которые входят во все множества А₁, А₂, … А_n.

Например, если А, В и С – соответственно множества учеников класса, решивших на контрольной по математике задачу по алгебре, задачу по геометрии, задачу по тригонометрии, то пересечение этих множеств есть множество учеников этого класса, решивших все три задачи.

Объединение (сумма) множеств.

Объединением множеств А и В называется такое множество С, каждый элемент которого содержится хотя бы в одном из множеств А или В: С = А В.

Изображение объединения множеств (выделено серым) при помощи кругов Эйлера представлено на рис. 5.

 

 

 

Рис. 5. Объединение множеств А и В

 

Например, если А = {1, 2, 3, 4} и В = {1, 3, 5, 7, 9}, то С = А В = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}.

Объединением множества учеников школы моложе 12 лет с множеством учеников той

же школы старше 10 лет является множество всех учеников данной школы.

Можно рассматривать объединение n множеств:

А = А_i = А₁ А₂ … А_n,

при этом в А входят все элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств А₁, А₂, … А_n.

Например, множество всех действительных чисел R состоит из множества положительных чисел R⁺, множества отрицательных чисел R^- и множества {0}, т.е.:

R = R⁺ R^- {0}.

Объединение множеств вершин треугольников, вписанных в данную окружность, представляет собой множество точек этой окружности.

Задача 2.

Пусть Е – некоторый универсум, а множество А принадлежит этому универсуму, т.е. А Ì Е.

Записать и изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна пересечение и объединение этих множеств.

Решение.

Универсум Е изобразим в виде прямоугольника, а его подмножество А – в виде круга, расположенного внутри прямоугольника.

Для случая пересечения получаем (см. рис. 6 – пересечение выделено серым цветом):

А Е = А.

 

 

 

Рис. 6. Пересечение (выделено серым) универсума Е и его подмножества – множества А

 

 

Для случая объединения рассматриваемых множеств (см. рис. 7 – объединение выделено серым цветом) имеем: А Е = Е.

 

 

Рис. 7. Объединение (выделено серым) универсума Е и его подмножества – множества А

·

Разность двух множеств. Дополнение.

Разностью двух множеств А и В называется множество G, содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В: G = А \ В (рис. 8).

Например, G = {1, 2, 3, 4} \ {1, 3, 5, 7, 9} = {2, 4}.

Если множество В – подмножество множества А (В Ì А), то разность А \ В называется дополнением к В до А (рис. 9). Например, если А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {2, 4}, то множество {1, 3, 5, 6} – дополнение к В до А.

Дополнение к А до универсума Е имеет особое обозначение: Е \ А = ØА (рис. 10).

 

Рис. 8. Разность А \ В (выделено серым) двух множеств А и В

 

 

Рис. 9. Разность А \ В (выделено серым) является дополнением к В до А

 

 

Рис. 10. Дополнение (выделено серым) к А до универсума Е

имеет особое обозначение ØА: Е \ А = ØА

 

Задача 3. Рассмотрим множество всех студентов. Пусть А – множество студентов, учащихся на юридических факультетах. В – множество студентов, изучающих английский язык. Описать множества А В, А В, А \ В, ØА.

Решение.

1) А В – это множество студентов, которые либо учатся на юридических факультетах, либо изучают английский язык, либо и то и другое вместе.

2) А В – это множество студентов-юристов, изучающих английский язык.

3) А \ В – множество студентов-юристов, которые не изучают английский язык.

4) ØА – множество всех студентов-неюристов.·