Действия со множествами.

Дополнениеммножества до универсального множества называется множество , элементы которого не принадлежат .

Пересечениемдвух множеств А и Вназывается множество A , состоящее изэлементов, принадлежащих множеству А и множеству В.

Объединениеммножеств А и В называется множество A B, состоящее изэлементов, принадлежащих множеству А или множеству В.

Разностьюмежду множествами А и Вназывается множество , состоящее изэлементов множества А, которые не принадлежат множеству В .

Симметрической разностьюмножеств А и Вназывается множество ( , равное объединению двух разностей и .

Порядок выполнения операций в выражениях определяется следующим образом. Прежде всего выполняется операция дополнения множества до универсального множества . Затем выполняются последовательно слева направо действия, заданные в скобках. Пересечение считают теоретико-множественным умножением, а объединение – теоретико-множественным сложением. Поэтому сначала выполняют операцию пересечения и только после нее – объединения или разности. Пересечение и объединение рассматривают как умножение и сложение в силу того, что своими свойствами они напоминают эти арифметические операции. По этой же причине пустое множество похоже на число 0, а универсальное множество – на число 1.

Законы теории множеств, верные для любых множеств А, В, С.

1. AÇB = BÇ A – закон коммутативности пересечения.

2. AÈB = BÈ A – закон коммутативности объединения.

3. AÇ(BÇC) = (AÇB)ÇC – закон ассоциативности пересечения.

4. AÈ(BÈC) = (AÈB)ÈC – закон ассоциативности объединения.

5. AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC)– закон дистрибутивности пересечения относительно объединения.

6. AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC) – закон дистрибутивности объединения относительно пересечения.

7. AÇ A= A – закон идемпотентности пересечения.

8. AÈ A= A – закон идемпотентности объединения.

9. AÇÆ = Æ . 10. AÈÆ= A. 11. AÇ= A. 12. AÈ = .

13. AÇ =Æ – закон противоречия. 14. AÈ =– закон исключенного третьего.

15. = È – закон де Моргана для дополнения пересечения.

16. = – закон де Моргана для дополнения объединения.

17. AÇ(BÈ A) = A – закон поглощения. 18. AÈ(BÇ A) = A – закон поглощения.

19. (AÇB)È(AÇ ) = A – закон склеивания. 20. (AÈB)Ç(AÈ ) = A – закон склеивания.

21. A = – закон инволюции. 22. A- B = AÇ . 23. AÅB = (AÈB) -(AÇB) .

Замечание 1.Очевидно, что =и =Æ.

Замечание 2.Законы де Моргана можно распространить на большее число

множеств.

Пример 1.Задано универсальное множество , множества и . Выполнить действия , , , , , , , , , , .

Решение. Выполним действия , , , , =( , , , , = , = .

Пример 2.Задано универсальное множество , множества , , , , . Найти множество .

Решение. Зададим множества и перечислением элементов , . Выполним последовательно действия: , , , , .

Пример 3.Доказать справедливость утверждения AÅ(B - AÇB) = AÈB с помощью таблицы принадлежности и используя законы теории множеств.

Решение.

Составим таблицу принадлежности, рассмотрев четыре возможных случая принадлежности некоторого элемента двум множествам:

A	B	AÇB	B - AÇB	AÅ(B - AÇB)	AÈB
-	-	-	-	-	-
-	+	-	+	+	+
+	-	-	-	+	+
+	+	+	-	+	+

Результаты выполнения действий над множествами в левой и правой частях совпадают, значит, утверждение справедливо.

Применим законы логики.

Возьмем левую часть AÅ(B - AÇB) данного равенства и сведем ее к правой части AÈB.

. Утверждение справедливо.