Резонанс напряжений

Резонанс напряжений возникает в цепи с последовательным включением элементов (рис.5.5)

Известно, что комплексное сопротивление токов цепи определяется выражением.

По определению резонанс в цепи рис.5.5 наступает когда выполнится условие

Отсюда видно, что резонанс в цепи возникает на частоте

 

Очевидно также, что

, .

Видим, что полученные выражения полностью соответствуют (5.9) и (5.10). Это подтверждает единство физической сути различных видов резонанса.

Определим ток и напряжение всей цепи , а также падение напряжения на ее отдельных элементах в режиме резонанса.

Так как сопротивление всей цепи в режиме резонанса минимально и равно R то ток в ней максимален и равен

, (5.17)

а падение напряжения определяется ЭДС источника - Е.

Падение напряжения на отдельных элементах легко найти по закону Ома. Так, падение напряжения на резисторе R равно

(5.18)

Тривиальный математически результат интересен по физической сути. Все напряжение источника выделяется на одном элементе цепи.

Падение напряжения на индуктивности равно

 

(5.19)

Величина

(5.20)

называется добротностью и может принимать значение десятков и сотен единиц. Значит, падение напряжения на индуктивности может в десятки и сотни раз превышать ЭДС источника.

Падение напряжения на емкости равно

(5.21)

Так как , то падение напряжения на емкости равно по величине падению напряжения на индуктивности, но согласно (5.8) они противоположны по знаку. Отношение напряжения на индуктивности или на емкости в режиме резонанса к току в этом режиме называют характеристическим сопротивлением , причем

(5.22)

В силу того что

,

рассматриваемый режим назван резонансом напряжений. Противофазность напряжений и указывает на то, что в цепи происходит такой же колебательный процесс с частотой , как и в параллельном колебательном контуре.

Здесь также энергия источника затрачивается только на преодоление сопротивления резистора R. Поэтому цепь называется последовательным колебательным контуром.

Завершим анализ резонанса напряжений разбором частотной зависимости тока цепи рис.5.5. и падений напряжений на элементах L и С от частоты (рис.5.6). На рисунке пунктиром отмечен график ЭДС. Падение напряжения на идеальной индуктивности при равно нулю. С увеличением частоты сопротивление индуктивности, а значит и падение напряжения на ней увеличивается. Когда частота устремляется в бесконечность сопротивление Х_L также устремляется в бесконечность. При этом падение напряжения стремится к Е. Между крайними точками существует экстремум напряжения который находится по формуле

(5.23)

Частота, на которой достигается этот максимум определяется выражением

(5.24)

Сопротивление емкости на частоте равно бесконечности и значит напряжение на ее обкладках равно Е. С увеличением частоты сопротивление Х_С уменьшается, а при стремится к нулю. Между крайними точками также существует экстремум причем

(5.25)

Частота, на которой достигается этот максимум определяется выражением

(5.26)

Так как подкоренное выражение в (5.24) и (5.26) всегда меньше единицы то очевидно, что

Кроме того

.

В силу этих особенностей единственным верным признаком наступления резонанса в цепи является максимум тока, значение которого изменяется с изменением частоты по резонансной кривой.